Чтобы найти периметр равнобедренной трапеции, необходимо сначала вычислить длины её боковых сторон.
Дано:
- основания трапеции ( a = 11 ) см и ( b = 5 ) см.
- высота ( h ) образует угол ( 30^\circ ) с боковой стороной.
В равнобедренной трапеции высота делит основание на две части: ( \frac{a - b}{2} = \frac{11 - 5}{2} = 3 ) см. Это основание одного из прямоугольных треугольников, который образуется при проведении высоты.
Теперь используем тригонометрию для поиска длины боковой стороны ( c ):
В прямоугольном треугольнике:
- противолежащая сторона (высота) равна ( h ),
- прилежащая сторона (половина разности оснований) равна ( 3 ) см,
- угол между высотой и боковой стороной равен ( 30^\circ ).
Согласно определению синуса:
[
\sin(30^\circ) = \frac{h}{c}
]
Поскольку ( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} ), получаем:
[
\frac{1}{2} = \frac{h}{c} \implies h = \frac{c}{2}
]
Также по определению косинуса:
[
\cos(30^\circ) = \frac{3}{c}
]
[
\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{c} \implies c = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \text{ см}
]
Теперь мы узнали длину боковой стороны ( c ). Найдем периметр трапеции:
[
P = a + b + 2c = 11 + 5 + 2(2\sqrt{3}) = 16 + 4\sqrt{3} \text{ см}
]
Таким образом, периметр равнобедренной трапеции равен ( 16 + 4\sqrt{3} ) см.
