Для решения задачи, давайте обозначим скорость теплохода в неподвижной воде как ( v ) (км/ч). Скорость течения реки равна 4 км/ч, поэтому:
- Скорость теплохода по течению: ( v + 4 ) км/ч.
- Скорость теплохода против течения: ( v - 4 ) км/ч.
Теплоход проходит 165 километров до пункта назначения, затем останавливается на 5 часов и возвращается обратно 165 километров. Общее время, проведенное в пути, составляет 18 часов.
- Время в пути по течению:
[
t_1 = \frac{165}{v + 4}
]
- Время в пути против течения:
[
t_2 = \frac{165}{v - 4}
]
- Полное время:
Время в пути по течению ( t_1 ) + время стоянки + время в пути против течения ( t_2 ) должно равняться 18 часам. Составляем уравнение:
[
t_1 + 5 + t_2 = 18
]
Подставим выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ):
[
\frac{165}{v + 4} + 5 + \frac{165}{v - 4} = 18
]
Упростим уравнение:
[
\frac{165}{v + 4} + \frac{165}{v - 4} = 18 - 5
]
[
\frac{165}{v + 4} + \frac{165}{v - 4} = 13
]
Умножим все уравнение на ( (v + 4)(v - 4) ), чтобы избавиться от дробей:
[
165(v - 4) + 165(v + 4) = 13(v + 4)(v - 4)
]
Раскроем скобки:
[
165v - 660 + 165v + 660 = 13(v^2 - 16)
]
Соберем подобные слагаемые:
[
330v = 13v^2 - 208
]
Расположим уравнение в стандартном виде:
[
13v^2 - 330v - 208 = 0
]
Теперь можем использовать формулу квадратного уравнения ( v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ):
Где ( a = 13 ), ( b = -330 ), ( c = -208 ).
- Вычислим дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-330)^2 - 4 \cdot 13 \cdot (-208) = 108900 + 10816 = 119716
]
- Теперь найдем ( v ):
[
v = \frac{330 \pm \sqrt{119716}}{2 \cdot 13}
]
Решим это:
[
\sqrt{119716} \approx 346.8
]
Подставим значение:
[
v_1 = \frac{330 + 346.8}{26} \approx \frac{676.8}{26} \approx 26
]
[
v_2 = \frac{330 - 346.8}{26} \approx \frac{-16.8}{26} \approx -0.65
]
Так как скорость не может быть отрицательной, принимаем:
Скорость теплохода в неподвижной воде ( v \approx 26 ) км/ч.
