4. Чему равна первая космическая скорость для планеты радиусом R = 2500 км, средняя плотность которой rho = 4.5 * 10 ^ 3 * kr / (M ^ (3r))
Чтобы найти первую космическую скорость для планеты, мы можем использовать формулу:
\[ v = \sqrt{\frac{2GM}{R}} \]
где:
- \( v \) — первая космическая скорость,
- \( G \) — гравитационная постоянная \((G \approx 6.67 \times 10^{-11} \, \text{Н м}^2/\text{кг}^2)\),
- \( M \) — масса планеты,
- \( R \) — радиус планеты.
Для того чтобы найти массу планеты \( M \), мы можем воспользоваться формулой для массы в зависимости от плотности:
\[ M = \rho V \]
где \( V \) — объём планеты. Объем можно вычислить по формуле:
\[ V = \frac{4}{3} \pi R^3 \]
Теперь, подставляя объем в уравнение для массы, получаем:
\[ M = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \]
Давайте подставим наши значения. Радиус планеты \( R = 2500 \, \text{км} = 2.5 \times 10^6 \, \text{м} \) и плотность \( \rho = 4.5 \times 10^3 \, \text{кг}/\text{м}^3 \).
Теперь найдем массу:
\[ M = \left(4.5 \times 10^3 \, \text{кг}/\text{м}^3\right) \cdot \frac{4}{3} \pi (2.5 \times 10^6 \, \text{м})^3 \]
Теперь вычислим \( R^3 \):
\[ (2.5 \times 10^6)^3 = 1.5625 \times 10^{19} \, \text{м}^3 \]
И теперь подставим это значение в формулу для массы:
\[ M \approx 4.5 \times 10^3 \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 1.5625 \times 10^{19} \]
Приблизительно:
\[ M \approx 4.5 \times 10^3 \cdot 6.2832 \cdot 2.0833 \times 10^{19} = 5.835 \times 10^{23} \, \text{кг} \]
Теперь имеем массу, и можем подставить это значение в формулу для первой космической скорости:
\[ v = \sqrt{\frac{2 \cdot (6.67 \times 10^{-11}) \cdot (5.835 \times 10^{23})}{2.5 \times 10^6}} \]
Вычisлим числитель:
\[ 2 \cdot 6.67 \times 10^{-11} \cdot 5.835 \times 10^{23} \approx 7.8 \times 10^{13} \]
Теперь делим на радиус:
\[ \frac{7.8 \times 10^{13}}{2.5 \times 10^6} \approx 3.12 \times 10^7 \]
Теперь извлекаем корень из этого значения:
\[ v \approx \sqrt{3.12 \times 10^7} \approx 5586 \, \text{м/с} \]
Таким образом, первая космическая скорость для данной планеты равна приблизительно 5586 м/с.
