Чтобы найти первую космическую скорость для планеты, мы можем использовать формулу:
[ v = \sqrt{\frac{2GM}{R}} ]
где:
- ( v ) — первая космическая скорость,
- ( G ) — гравитационная постоянная ((G \approx 6.67 \times 10^{-11} , \text{Н м}^2/\text{кг}^2)),
- ( M ) — масса планеты,
- ( R ) — радиус планеты.
Для того чтобы найти массу планеты ( M ), мы можем воспользоваться формулой для массы в зависимости от плотности:
[ M = \rho V ]
где ( V ) — объём планеты. Объем можно вычислить по формуле:
[ V = \frac{4}{3} \pi R^3 ]
Теперь, подставляя объем в уравнение для массы, получаем:
[ M = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 ]
Давайте подставим наши значения. Радиус планеты ( R = 2500 , \text{км} = 2.5 \times 10^6 , \text{м} ) и плотность ( \rho = 4.5 \times 10^3 , \text{кг}/\text{м}^3 ).
Теперь найдем массу:
[
M = \left(4.5 \times 10^3 , \text{кг}/\text{м}^3\right) \cdot \frac{4}{3} \pi (2.5 \times 10^6 , \text{м})^3
]
Теперь вычислим ( R^3 ):
[
(2.5 \times 10^6)^3 = 1.5625 \times 10^{19} , \text{м}^3
]
И теперь подставим это значение в формулу для массы:
[
M \approx 4.5 \times 10^3 \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 1.5625 \times 10^{19}
]
Приблизительно:
[
M \approx 4.5 \times 10^3 \cdot 6.2832 \cdot 2.0833 \times 10^{19} = 5.835 \times 10^{23} , \text{кг}
]
Теперь имеем массу, и можем подставить это значение в формулу для первой космической скорости:
[
v = \sqrt{\frac{2 \cdot (6.67 \times 10^{-11}) \cdot (5.835 \times 10^{23})}{2.5 \times 10^6}}
]
Вычisлим числитель:
[
2 \cdot 6.67 \times 10^{-11} \cdot 5.835 \times 10^{23} \approx 7.8 \times 10^{13}
]
Теперь делим на радиус:
[
\frac{7.8 \times 10^{13}}{2.5 \times 10^6} \approx 3.12 \times 10^7
]
Теперь извлекаем корень из этого значения:
[
v \approx \sqrt{3.12 \times 10^7} \approx 5586 , \text{м/с}
]
Таким образом, первая космическая скорость для данной планеты равна приблизительно 5586 м/с.
