Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1, AA1=4, AB=6, AD=4.На ребре АА1 взята точка К так, что АК:КА1=1:3.Точка О- точка пересечения диагоналей грани АВСD. Найдите угол между прямыми КВ1и ОD1.

Чтобы решить задачу, давайте начнем с определения всех необходимых точек и их координат в пространстве. 1. **Определим координаты вершин параллелепипеда ABCDA1B1C1D1:** - A(0, 0, 0) - B(6, 0, 0) - C(6, 4, 0) - D(0, 4, 0) - A1(0, 0, 4) - B1(6, 0, 4) - C1(6, 4, 4) - D1(0, 4, 4) 2. **Найдем координаты точки K на ребре AA1:** Значение АК:КА1=1:3 означает, что точка K делит отрезок AA1 в отношении 1:3. Длина ребра AA1 равна 4. Соответственно: - Длина отрезка AK = 1/4 * 4 = 1 - Длина отрезка KA1 = 3/4 * 4 = 3 Используя координаты A(0, 0, 0) и A1(0, 0, 4), мы находим координаты точки K: \[ K(0, 0, 1) \] (так как K находится на 1 единицу выше точки A). 3. **Найдем координаты точки O, точки пересечения диагоналей грани ABCD:** Диагонали грани ABCD — это AC и BD. - C(6, 4, 0) и A(0, 0, 0) имеют координаты: - Медиана AC: \[ \left(\frac{0 + 6}{2}, \frac{0 + 4}{2}, 0\right) = (3, 2, 0) \] - B(6, 0, 0) и D(0, 4, 0) имеют координаты: - Медиана BD: \[ \left(\frac{6 + 0}{2}, \frac{0 + 4}{2}, 0\right) = (3, 2, 0) \] Таким образом, точка O имеет координаты: \[ O(3, 2, 0) \]. 4. **Теперь найдем векторы KB1 и OD1:** - Вектор \( KB1 \): \[ B1(6, 0, 4) - K(0, 0, 1) = (6 - 0, 0 - 0, 4 - 1) = (6, 0, 3) \] - Вектор \( OD1 \): \[ D1(0, 4, 4) - O(3, 2, 0) = (0 - 3, 4 - 2, 4 - 0) = (-3, 2, 4) \] 5. **Теперь найдем угол между векторами KB1 и OD1:** Угол θ между векторами можно найти с помощью скалярного произведения: \[ \cos(θ) = \frac{KB1 \cdot OD1}{|KB1| \cdot |OD1|} \] Измерим скалярное произведение: \[ KB1 \cdot OD1 = 6 \cdot (-3) + 0 \cdot 2 + 3 \cdot 4 = -18 + 0 + 12 = -6 \] Найдем длины векторов: \[ |KB1| = \sqrt{6^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \] \[ |OD1| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 4 + 16} = \sqrt{29} \] Теперь аккумулируем всё: \[ \cos(θ) = \frac{-6}{(3\sqrt{5}) \cdot \sqrt{29}} \] \[ |KB1| \cdot |OD1| = 3\sqrt{5} \cdot \sqrt{29} \] После вычисления найдется значение косинуса угла, от которого мы сможем найти сам угол θ, применив арккосинус. В результате, вы получите угол между прямыми \( KB1 \) и \( OD1 \). Убедитесь пройти все вычисления, чтобы добиться более точного результата угла.