Найди площадь фигуры, ограниченной параболой y = 3x^2 + 4x + 5 и касательными, проведёнными к точкам с абсциссами x= - 2 и х = 4 данной параболы.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой \( y = 3x^2 + 4x + 5 \) и касательными, проведёнными к точкам с абсциссами \( x = -2 \) и \( x = 4 \), сначала необходимо найти уравнения касательных в указанных точках.

1. Находим производную параболы

Для начала находим производную функции, чтобы определить угловой коэффициент касательной:

\[ y' = 6x + 4 \]

2. Находим значение функции и производной в точках касания

Для \( x = -2 \) :

\[ y(-2) = 3(-2)^2 + 4(-2) + 5 = 3 \cdot 4 - 8 + 5 = 12 - 8 + 5 = 9 \]

\[ y'(-2) = 6(-2) + 4 = -12 + 4 = -8 \]

Уравнение касательной в точке \( (-2, 9) \):

\[ y - 9 = -8(x + 2) \]

Перепишем уравнение касательной:

\[ y = -8x - 16 + 9 = -8x - 7 \]

Для \( x = 4 \) :

\[ y(4) = 3(4)^2 + 4(4) + 5 = 3 \cdot 16 + 16 + 5 = 48 + 16 + 5 = 69 \]

\[ y'(4) = 6(4) + 4 = 24 + 4 = 28 \]

Уравнение касательной в точке \( (4, 69) \):

\[ y - 69 = 28(x - 4) \]

Перепишем уравнение касательной:

\[ y = 28x - 112 + 69 = 28x - 43 \]

3. Находим точки пересечения касательных с параболой

Теперь находим точки пересечения параболы и касательных.

Пересечение параболы с первой касательной:

\[ 3x^2 + 4x + 5 = -8x - 7 \]

Приведем уравнение к стандартному виду:

\[ 3x^2 + 12x + 12 = 0 \]

Решим это уравнение:

\[ x^2 + 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x + 2)^2 = 0 \Rightarrow x = -2 \]

Мы уже знаем, что \( x = -2 \) — это одна из точек касания.

Пересечение параболы со второй касательной:

\[ 3x^2 + 4x + 5 = 28x - 43 \]

Приведем уравнение к стандартному виду:

\[ 3x^2 - 24x + 48 = 0 \]

Решим это уравнение:

\[ x^2 - 8x + 16 = 0 \Rightarrow (x - 4)^2 = 0 \Rightarrow x = 4 \]

Так же мы нашли, что \( x = 4 \) — это другая точка касания.

4. Находим площадь фигуры

Теперь нужно найти площадь между параболой и касательными. Площадь можно найти, интегрируя функцию в пределах от \( x = -2 \) до \( x = 4 \).

\[ \text{Площадь} = \int_{-2}^{4} \left( (28x - 43) - (3x^2 + 4x + 5) \right)dx \]

Упростим интеграл:

\[ = \int_{-2}^{4} (28x - 43 - 3x^2 - 4x - 5)dx \] \[ = \int_{-2}^{4} (-3x^2 + 24x - 48) dx \]

Теперь вычислим определенный интеграл:

\[ = \left[-x^3 + 12x^2 - 48x\right]_{-2}^{4} \]

Вычислим выражение:

\[ = \left[-4^3 + 12 \cdot 4^2 - 48 \cdot 4\right] - \left[-(-2)^3 + 12 \cdot (-2)^2 - 48 \cdot (-2)\right] \] \[ = [-64 + 192 - 192] - [8 + 48 + 96] \] \[ = -64 - 152 = -216 \]

Площадь имеет положительное значение:

\[ = 216 \]

Итак, окончательный ответ:

\[ \text{Площадь фигуры} = 216 \]