На координатной плоскости заданы точки: А(1; - 6), В(-2; 4), С(-7; -3) и D(5; -2). Найдите длину вектора 2 • АС + 3 ВD

Чтобы найти длину вектора \(2 \cdot \overrightarrow{AC} + 3 \cdot \overrightarrow{BD}\), начнем с вычисления векторов \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\).

1. Находим вектор \(\overrightarrow{AC}\): \[ \overrightarrow{A} = (1, -6) \quad \text{и} \quad \overrightarrow{C} = (-7, -3) \] \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} = (-7 - 1, -3 - (-6)) = (-8, 3) \]

2. Находим вектор \(\overrightarrow{BD}\): \[ \overrightarrow{B} = (-2, 4) \quad \text{и} \quad \overrightarrow{D} = (5, -2) \] \[ \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{B} = (5 - (-2), -2 - 4) = (7, -6) \]

3. Умножаем векторы на соответствующие скаляры: \[ 2 \cdot \overrightarrow{AC} = 2 \cdot (-8, 3) = (-16, 6) \] \[ 3 \cdot \overrightarrow{BD} = 3 \cdot (7, -6) = (21, -18) \]

4. Складываем полученные векторы: \[ 2 \cdot \overrightarrow{AC} + 3 \cdot \overrightarrow{BD} = (-16, 6) + (21, -18) = (-16 + 21, 6 - 18) = (5, -12) \]

5. Находим длину полученного вектора: Длина вектора \((x, y)\) вычисляется по формуле: \[ ||\overrightarrow{v}|| = \sqrt{x^2 + y^2} \] В нашем случае: \[ ||(5, -12)|| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \]

Таким образом, длина вектора \(2 \cdot \overrightarrow{AC} + 3 \cdot \overrightarrow{BD}\) равна \(13\).