Укажите решение неравенства x²-x<0

Чтобы решить неравенство \( x^2 - x < 0 \), сначала мы можем преобразовать его, вынеся общий множитель: \[ x(x - 1) < 0 \] Теперь мы имеем произведение двух множителей \( x \) и \( (x - 1) \). Для определения, при каких значениях \( x \) данное произведение меньше нуля, мы должны найти нули обоих множителей: 1. \( x = 0 \) 2. \( x - 1 = 0 \) \(\Rightarrow x = 1\) Эти значения \( x = 0 \) и \( x = 1 \) разделят числовую прямую на три интервала: 1. \( (-\infty, 0) \) 2. \( (0, 1) \) 3. \( (1, +\infty) \) Теперь проверим знак произведения \( x(x - 1) \) в каждом из этих интервалов: - В интервале \( (-\infty, 0) \): выберем \( x = -1 \) \[ (-1)(-1 - 1) = (-1)(-2) = 2 \quad (\text{положительно}) \] - В интервале \( (0, 1) \): выберем \( x = 0.5 \) \[ (0.5)(0.5 - 1) = (0.5)(-0.5) = -0.25 \quad (\text{отрицательно}) \] - В интервале \( (1, +\infty) \): выберем \( x = 2 \) \[ (2)(2 - 1) = (2)(1) = 2 \quad (\text{положительно}) \] Таким образом, произведение \( x(x - 1) < 0 \) выполняется только в интервале \( (0, 1) \). Теперь, чтобы окончательно записать решение, у нас неравенство строгое, и мы не включаем границы. Поэтому решение будет: \[ x \in (0, 1) \] Это значит, что \( x \) может принимать любые значения между 0 и 1, не включая сами 0 и 1.