укажите решение неравенства x²-x<0
Чтобы решить неравенство \( x^2 - x < 0 \), сначала мы можем преобразовать его, вынеся общий множитель:
\[ x(x - 1) < 0 \]
Теперь мы имеем произведение двух множителей \( x \) и \( (x - 1) \). Для определения, при каких значениях \( x \) данное произведение меньше нуля, мы должны найти нули обоих множителей:
- \( x = 0 \)
- \( x - 1 = 0 \) \(\Rightarrow x = 1\)
Эти значения \( x = 0 \) и \( x = 1 \) разделят числовую прямую на три интервала:
- \( (-\infty, 0) \)
- \( (0, 1) \)
- \( (1, +\infty) \)
Теперь проверим знак произведения \( x(x - 1) \) в каждом из этих интервалов:
В интервале \( (-\infty, 0) \): выберем \( x = -1 \) \[ (-1)(-1 - 1) = (-1)(-2) = 2 \quad (\text{положительно}) \]
В интервале \( (0, 1) \): выберем \( x = 0.5 \) \[ (0.5)(0.5 - 1) = (0.5)(-0.5) = -0.25 \quad (\text{отрицательно}) \]
В интервале \( (1, +\infty) \): выберем \( x = 2 \) \[ (2)(2 - 1) = (2)(1) = 2 \quad (\text{положительно}) \]
Таким образом, произведение \( x(x - 1) < 0 \) выполняется только в интервале \( (0, 1) \).
Теперь, чтобы окончательно записать решение, у нас неравенство строгое, и мы не включаем границы. Поэтому решение будет:
\[ x \in (0, 1) \]
Это значит, что \( x \) может принимать любые значения между 0 и 1, не включая сами 0 и 1.
