Найди значение выражения √a²−14ab+49b² при a=5 3/4; b=1/2

Давайте найдем значение выражения \( \sqrt{a^2 - 14ab + 49b^2} \) при \( a = 5 \frac{3}{4} \) и \( b = \frac{1}{2} \).

Сначала преобразуем \( a = 5 \frac{3}{4} \) в неправильную дробь. Это равно \( \frac{23}{4} \) (потому что \( 5 \times 4 + 3 = 23 \)). Так что подставим \( a \) и \( b \) в выражение:

1. Подставим значения в формулу: \[ a = \frac{23}{4}, \quad b = \frac{1}{2} \]

2. Подсчитаем сначала \( a^2 \): \[ a^2 = \left(\frac{23}{4}\right)^2 = \frac{529}{16} \]

3. Теперь найдем \( 14ab \): \[ 14ab = 14 \cdot \frac{23}{4} \cdot \frac{1}{2} = 14 \cdot \frac{23}{8} = \frac{322}{8} = \frac{161}{4} \]

4. Теперь \( 49b^2 \): \[ 49b^2 = 49 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 49 \cdot \frac{1}{4} = \frac{49}{4} \]

5. Теперь подставим все в выражение: \[ a^2 - 14ab + 49b^2 = \frac{529}{16} - \frac{161}{4} + \frac{49}{4} \]

   Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель - 16: \[ - \frac{161}{4} = -\frac{644}{16}, \quad \frac{49}{4} = \frac{196}{16} \]

   Теперь подставим: \[ \frac{529}{16} - \frac{644}{16} + \frac{196}{16} = \frac{529 - 644 + 196}{16} = \frac{81}{16} \]

6. Теперь найдём квадратный корень: \[ \sqrt{\frac{81}{16}} = \frac{9}{4} \]

Таким образом, значение выражения \( \sqrt{a^2 - 14ab + 49b^2} \) при \( a = 5 \frac{3}{4} \) и \( b = \frac{1}{2} \) равно \( \frac{9}{4} \).