Чтобы найти объем цилиндра, в который вписан шар, нам нужно использовать некоторые геометрические свойства.
Объем шара можно рассчитать по формуле:
[ V_{шара} = \frac{4}{3} \pi r^3 ]
где ( r ) — радиус шара. По условиям задачи объем шара равен 18:
[ \frac{4}{3} \pi r^3 = 18 ]
Теперь найдем радиус шара. Умножим обе стороны уравнения на ( \frac{3}{4\pi} ):
[ r^3 = \frac{18 \cdot 3}{4\pi} ]
[ r^3 = \frac{54}{4\pi} ]
[ r^3 = \frac{27}{2\pi} ]
Теперь извлечем корень третьей степени:
[ r = \sqrt[3]{\frac{27}{2\pi}} ]
Теперь, зная радиус шара, мы можем найти высоту и радиус цилиндра. Поскольку шар вписан в цилиндр, высота цилиндра равна диаметру шара, а радиус основания цилиндра равен радиусу шара.
Диаметр шара:
[ d = 2r ]
Таким образом, высота цилиндра ( h ):
[ h = 2r ]
Объем цилиндра рассчитывается по формуле:
[ V_{цилиндра} = \pi r^2 h ]
Подставим ( h ):
[ V_{цилиндра} = \pi r^2 (2r) = 2\pi r^3 ]
Теперь подставим значение ( r^3 ):
[ V_{цилиндра} = 2\pi \left( \frac{27}{2\pi} \right) = 27 ]
Итак, объем цилиндра равен 27 кубических единиц.
