Давайте разберёмся с задачей по очереди. Нам необходимо найти размеры прямоугольного параллелепипеда, зная, что:
- Ширина ( b ) в 2 раза меньше высоты ( h ): ( b = \frac{h}{2} ).
- Ширина составляет ( \frac{4}{5} ) от длины ( l ): ( b = \frac{4}{5} l ).
- Площадь поверхности параллелепипеда равна 736 м².
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:
[
S = 2(lh + lb + hb)
]
Подставим имеющиеся связи для ( b ):
- Это даёт ( b = \frac{h}{2} ).
- Из этого можно выразить длину ( l ): ( l = \frac{5}{4} b = \frac{5}{4} \cdot \frac{h}{2} = \frac{5h}{8} ).
Теперь подставим все известные значения в формулу для площади:
[
S = 2\left(lh + lb + hb\right) = 2\left(\frac{5h}{8} \cdot h + \frac{5h}{8} \cdot \frac{h}{2} + h \cdot \frac{h}{2}\right)
]
Упростим это выражение:
[
= 2\left(\frac{5h^2}{8} + \frac{5h^2}{16} + \frac{h^2}{2}\right)
]
Приведём всё к общему знаменателю 16:
[
= 2\left(\frac{10h^2}{16} + \frac{5h^2}{16} + \frac{8h^2}{16}\right) = 2\left(\frac{23h^2}{16}\right) = \frac{46h^2}{16} = \frac{23h^2}{8}
]
Теперь у нас есть уравнение для площади поверхности:
[
\frac{23h^2}{8} = 736
]
Умножим обе стороны на 8:
[
23h^2 = 736 \cdot 8 = 5888
]
Теперь разделим обе стороны на 23:
[
h^2 = \frac{5888}{23} = 256
]
Теперь найдём ( h ):
[
h = \sqrt{256} = 16 , \text{м}
]
Теперь подставим значение ( h ) для нахождения ( b ) и ( l ):
- Найдем ширину ( b ):
[
b = \frac{h}{2} = \frac{16}{2} = 8 , \text{м}
]
- Найдем длину ( l ):
[
l = \frac{5}{4} b = \frac{5}{4} \cdot 8 = 10 , \text{м}
]
Таким образом, размеры параллелепипеда:
- Длина ( l = 10 , \text{м} )
- Ширина ( b = 8 , \text{м} )
- Высота ( h = 16 , \text{м} )
Параллелепипед имеет размеры: ( 10 , \text{м} \times 8 , \text{м} \times 16 , \text{м} ).
