в прямоугольном параллелепипеде ширина в 2 раза меньше высоты и составляет 4/5 его длины, найдите измерения параллелепипеда, если площадь его поверхности равна 736 м в квадрате.
Давайте разберёмся с задачей по очереди. Нам необходимо найти размеры прямоугольного параллелепипеда, зная, что:
- Ширина \( b \) в 2 раза меньше высоты \( h \): \( b = \frac{h}{2} \).
- Ширина составляет \( \frac{4}{5} \) от длины \( l \): \( b = \frac{4}{5} l \).
- Площадь поверхности параллелепипеда равна 736 м².
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:
\[ S = 2(lh + lb + hb) \]
Подставим имеющиеся связи для \( b \):
- Это даёт \( b = \frac{h}{2} \).
- Из этого можно выразить длину \( l \): \( l = \frac{5}{4} b = \frac{5}{4} \cdot \frac{h}{2} = \frac{5h}{8} \).
Теперь подставим все известные значения в формулу для площади:
\[ S = 2\left(lh + lb + hb\right) = 2\left(\frac{5h}{8} \cdot h + \frac{5h}{8} \cdot \frac{h}{2} + h \cdot \frac{h}{2}\right) \]
Упростим это выражение:
\[ = 2\left(\frac{5h^2}{8} + \frac{5h^2}{16} + \frac{h^2}{2}\right) \]
Приведём всё к общему знаменателю 16:
\[ = 2\left(\frac{10h^2}{16} + \frac{5h^2}{16} + \frac{8h^2}{16}\right) = 2\left(\frac{23h^2}{16}\right) = \frac{46h^2}{16} = \frac{23h^2}{8} \]
Теперь у нас есть уравнение для площади поверхности:
\[ \frac{23h^2}{8} = 736 \]
Умножим обе стороны на 8:
\[ 23h^2 = 736 \cdot 8 = 5888 \]
Теперь разделим обе стороны на 23:
\[ h^2 = \frac{5888}{23} = 256 \]
Теперь найдём \( h \):
\[ h = \sqrt{256} = 16 \, \text{м} \]
Теперь подставим значение \( h \) для нахождения \( b \) и \( l \):
- Найдем ширину \( b \):
\[ b = \frac{h}{2} = \frac{16}{2} = 8 \, \text{м} \]
- Найдем длину \( l \):
\[ l = \frac{5}{4} b = \frac{5}{4} \cdot 8 = 10 \, \text{м} \]
Таким образом, размеры параллелепипеда:
- Длина \( l = 10 \, \text{м} \)
- Ширина \( b = 8 \, \text{м} \)
- Высота \( h = 16 \, \text{м} \)
Параллелепипед имеет размеры: \( 10 \, \text{м} \times 8 \, \text{м} \times 16 \, \text{м} \).
