Среднее арифметическое из двух чисел равно 5, а разность из квадратов равна 9/2. Найдите сумму квадратов этих чисел.
Давайте попробуем решить эту задачу шаг за шагом.
Пусть два числа обозначаются как \(x\) и \(y\). Нам даны следующие сведения:
Среднее арифметическое двух чисел равно 5: \[ \frac{x + y}{2} = 5 \] Умножив обе стороны на 2, получаем: \[ x + y = 10 \quad (1) \]
Разность квадратов этих чисел равна \(\frac{9}{2}\): \[ x^2 - y^2 = \frac{9}{2} \] Можно использовать формулу разности квадратов: \[ (x - y)(x + y) = \frac{9}{2} \quad (2) \]
Теперь мы можем использовать уравнение (1), подставив его в уравнение (2). Так как \(x + y = 10\), подставим это значение: \[ (x - y) \cdot 10 = \frac{9}{2} \] Теперь делим обе стороны на 10: \[ x - y = \frac{9}{20} \quad (3) \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- \(x + y = 10\) (уравнение (1))
- \(x - y = \frac{9}{20}\) (уравнение (3))
Теперь можем решить эту систему. Складываем уравнения (1) и (3): \[ (x + y) + (x - y) = 10 + \frac{9}{20} \] Это дает: \[ 2x = 10 + \frac{9}{20} \] Преобразуем 10 в дробь с общим знаменателем: \[ 10 = \frac{200}{20} \] Таким образом, имеем: \[ 2x = \frac{200}{20} + \frac{9}{20} = \frac{209}{20} \] Теперь делим на 2: \[ x = \frac{209}{40} \]
Теперь найдем \(y\), используя уравнение (1): \[ x + y = 10 \implies y = 10 - x = 10 - \frac{209}{40} \] Преобразуем 10 в дробь: \[ y = \frac{400}{40} - \frac{209}{40} = \frac{191}{40} \]
Теперь, когда мы имеем значения \(x\) и \(y\), найдем сумму их квадратов: \[ x^2 + y^2 = \left(\frac{209}{40}\right)^2 + \left(\frac{191}{40}\right)^2 \] Сначала вычислим \(x^2\) и \(y^2\): \[ \left(\frac{209}{40}\right)^2 = \frac{43681}{1600}, \quad \left(\frac{191}{40}\right)^2 = \frac{36481}{1600} \] Теперь сложим эти значения: \[ x^2 + y^2 = \frac{43681 + 36481}{1600} = \frac{80162}{1600} = \frac{40081}{800} \]
Таким образом, сумма квадратов этих чисел равна: \[ \frac{40081}{800} \]
Это окончательное решение. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужны разъяснения, не стесняйтесь спрашивать!
