В правильной треугольной пирамиде ABCD (с вершиной D) сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 4. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью KLM, где К, Д, М- середины рёбер АВ, ВС и CD соответственно.

Чтобы найти площадь сечения правильной треугольной пирамиды ABCD плоскостью KLM, где K, L, M — середины рёбер AB, BC и CD соответственно, сначала давайте определим координаты вершин пирамиды. Пусть: - точка A = (0, 0, 0) - точка B = (2, 0, 0) - точка C = (1, √3, 0) - точка D = (1, √3/3, h) — высота h определяется так, чтобы боковое ребро AD было равно 4. Для нахождения h используем теорему Пифагора для треугольника ABD: \[ AD^2 = AB^2 + h^2 \] Где: - AB = 2 (сторона основания), - AD = 4 (боковое ребро). Подставляем значения: \[ 4^2 = 2^2 + h^2 \] \[ 16 = 4 + h^2 \] \[ h^2 = 12 \quad \Rightarrow \quad h = 2\sqrt{3} \] Таким образом, координаты точки D: \[ D = \left(1, \frac{\sqrt{3}}{3}, 2\sqrt{3}\right) \] Теперь найдем координаты точек K, L и M: - К — середина отрезка AB: \[ K = \left( \frac{0 + 2}{2}, 0, 0 \right) = (1, 0, 0) \] - L — середина отрезка BC: \[ L = \left( \frac{2 + 1}{2}, \frac{0 + \sqrt{3}}{2}, 0 \right) = \left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) \] - M — середина отрезка CD: \[ M = \left( \frac{1 + 1}{2}, \frac{\sqrt{3}/3 + \sqrt{3}}{2}, \frac{0 + 2\sqrt{3}}{2} \right) = \left(1, \frac{\sqrt{3}/3 + 3\sqrt{3}/3}{2}, \sqrt{3} \right) = \left(1, \frac{4\sqrt{3}}{6}, \sqrt{3} \right) = \left(1, \frac{2\sqrt{3}}{3}, \sqrt{3} \right) \] Теперь найдем векторы KL и KM, чтобы определить площадь треугольника KLM. \[ \overrightarrow{KL} = \left(\frac{3}{2} - 1, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) \] \[ \overrightarrow{KM} = \left(1 - 1, \frac{2\sqrt{3}}{3} - 0, \sqrt{3} - 0\right) = \left(0, \frac{2\sqrt{3}}{3}, \sqrt{3}\right) \] Теперь находим векторное произведение \(\overrightarrow{KL} \times \overrightarrow{KM}\): Определим определитель: \[ \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & \frac{2\sqrt{3}}{3} & \sqrt{3} \end{vmatrix} \] Это определение равно: \[ \mathbf{i} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} - 0 \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} \right) - \mathbf{j} \left( \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} - 0 \cdot 0 \right) + \mathbf{k} \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} - 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \] \[ = \mathbf{i} \left( \frac{3\sqrt{3}}{2} \right) - \mathbf{j} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \mathbf{k} \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right) \] Теперь вычислим модуль этого векторного произведения, который даст нам удвоенную площадь треугольника KLM. Модуль равен: \[ \sqrt{\left( \frac{3\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)^2} \] \[ = \sqrt{\frac{27}{4} + \frac{3}{4} + \frac{1}{3}} \] Приведем все к общему знаменателю 12: \[ = \sqrt{\frac{81 + 9 + 4}{12}} = \sqrt{\frac{94}{12}} = \frac{\sqrt{94}}{2\sqrt{3}} \] Теперь площадь треугольника KLM равна: \[ S = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{94}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{94}}{4\sqrt{3}} \] Таким образом, площадь сечения пирамиды плоскостью KLM равна \(\frac{\sqrt{94}}{4\sqrt{3}}\).