Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение. Обозначим:
- ( n ) — общее количество семян, в нашем случае ( n = 12 ).
- ( p ) — вероятность всхожести одного семени, в нашем случае ( p = 0.9 ).
- ( k ) — количество взошедших семян.
Нам нужно найти вероятность того, что взойдут по крайней мере 10 семян, то есть:
[
P(X \geq 10) = P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12)
]
Где ( X ) — случайная величина, которая описывает количество взошедших семян. По формуле биномиального распределения вероятность того, что ( k ) семян взошло, вычисляется как:
[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
]
Где ( \binom{n}{k} ) — биномиальный коэффициент, который равен ( \frac{n!}{k!(n-k)!} ).
Теперь подставим значения для ( k = 10 ), ( k = 11 ) и ( k = 12 ):
Для ( k = 10 ):
[
P(X = 10) = \binom{12}{10} (0.9)^{10} (0.1)^{2} = \frac{12!}{10!2!} (0.9)^{10} (0.1)^{2} = 66 \cdot (0.9)^{10} \cdot (0.1)^{2}
]
Для ( k = 11 ):
[
P(X = 11) = \binom{12}{11} (0.9)^{11} (0.1)^{1} = \frac{12!}{11!1!} (0.9)^{11} (0.1)^{1} = 12 \cdot (0.9)^{11} \cdot (0.1)^{1}
]
Для ( k = 12 ):
[
P(X = 12) = \binom{12}{12} (0.9)^{12} (0.1)^{0} = 1 \cdot (0.9)^{12} \cdot 1 = (0.9)^{12}
]
Теперь вычислим каждую из этих вероятностей:
( P(X = 10) ):
[
P(X = 10) \approx 66 \cdot (0.3487) \cdot (0.01) \approx 0.229
]
( P(X = 11) ):
[
P(X = 11) \approx 12 \cdot (0.3138) \cdot (0.1) \approx 0.37656
]
( P(X = 12) ):
[
P(X = 12) \approx (0.2824) \approx 0.2824
]
Теперь, чтобы найти ( P(X \geq 10) ), сложим эти вероятности:
[
P(X \geq 10) \approx P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12)
\approx 0.229 + 0.37656 + 0.2824 \approx 0.888
]
Таким образом, вероятность того, что из 12 посеянных семян взойдут по крайней мере 10, составляет примерно 0.888 или 88.8%.
