Всхожесть семян некоторого растения составляет 90%.Какова вероятность того, что из 12 посеянных семян взойдут по крайней мере 10?
Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение. Обозначим:
- \( n \) — общее количество семян, в нашем случае \( n = 12 \).
- \( p \) — вероятность всхожести одного семени, в нашем случае \( p = 0.9 \).
- \( k \) — количество взошедших семян.
Нам нужно найти вероятность того, что взойдут по крайней мере 10 семян, то есть: \[ P(X \geq 10) = P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]
Где \( X \) — случайная величина, которая описывает количество взошедших семян. По формуле биномиального распределения вероятность того, что \( k \) семян взошло, вычисляется как: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] Где \( \binom{n}{k} \) — биномиальный коэффициент, который равен \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \).
Теперь подставим значения для \( k = 10 \), \( k = 11 \) и \( k = 12 \):
Для \( k = 10 \): \[ P(X = 10) = \binom{12}{10} (0.9)^{10} (0.1)^{2} = \frac{12!}{10!2!} (0.9)^{10} (0.1)^{2} = 66 \cdot (0.9)^{10} \cdot (0.1)^{2} \]
Для \( k = 11 \): \[ P(X = 11) = \binom{12}{11} (0.9)^{11} (0.1)^{1} = \frac{12!}{11!1!} (0.9)^{11} (0.1)^{1} = 12 \cdot (0.9)^{11} \cdot (0.1)^{1} \]
Для \( k = 12 \): \[ P(X = 12) = \binom{12}{12} (0.9)^{12} (0.1)^{0} = 1 \cdot (0.9)^{12} \cdot 1 = (0.9)^{12} \]
Теперь вычислим каждую из этих вероятностей:
\( P(X = 10) \): \[ P(X = 10) \approx 66 \cdot (0.3487) \cdot (0.01) \approx 0.229 \]
\( P(X = 11) \): \[ P(X = 11) \approx 12 \cdot (0.3138) \cdot (0.1) \approx 0.37656 \]
\( P(X = 12) \): \[ P(X = 12) \approx (0.2824) \approx 0.2824 \]
Теперь, чтобы найти \( P(X \geq 10) \), сложим эти вероятности: \[ P(X \geq 10) \approx P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \approx 0.229 + 0.37656 + 0.2824 \approx 0.888 \]
Таким образом, вероятность того, что из 12 посеянных семян взойдут по крайней мере 10, составляет примерно 0.888 или 88.8%.
