В равнобедренном треугольнике ABC AB = BC = 4, AC = 2, BH− высота. Вписанная в треугольник ABC окружность второй раз пересекает высоту BH в точке K. Найдите BK : KH.
Рассмотрим равнобедренный треугольник \(ABC\), в котором \(AB = BC = 4\), \(AC = 2\).
Находим длину высоты \(BH\). Для этого сначала найдем координаты вершины \(C\).
Обозначим:
- \(A(0, 0)\)
- \(B(2, 0)\) (так как \(AC = 2\) и \(A\) в начале координат)
Теперь находим координаты \(C\). Поскольку \(AB = BC = 4\), то \(C\) находится на окружности радиуса 4 с центром в \(A\) и радиуса 4 с центром в \(B\).
Уравнение окружности, центрированное в \(A\): \[ x^2 + y^2 = 16 \] Уравнение окружности, центрированное в \(B\): \[ (x - 2)^2 + y^2 = 16 \]
Раскроем второе уравнение: \[ (x - 2)^2 + y^2 = 16 \implies x^2 - 4x + 4 + y^2 = 16 \implies x^2 + y^2 - 4x + 4 - 16 = 0 \implies x^2 + y^2 - 4x - 12 = 0 \]
Теперь, подставив \(y^2 = 16 - x^2\) из первого уравнения во второе, получим: \[ 16 - x^2 - 4x - 12 = 0 \implies -x^2 - 4x + 4 = 0 \implies x^2 + 4x - 4 = 0 \]
Находим корни этого уравнения: \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{2} \]
Рассмотрим два возможных значения \(x\):
- \(x_1 = -2 + 2\sqrt{2}\)
- \(x_2 = -2 - 2\sqrt{2}\)
Подставим эти значения в уравнение первого окружности для нахождения соответствующих \(y\).
После нахождения \(C\) найдем высоту \(BH\) и её пересечение с вписанной окружностью \(K\).
Вписанная окружность будет касаться стороны \(AC\) и делить её в точке \(M\) в отношении, обратном длинам сторон к этой стороне.
Для нахождения отношения \(BK : KH\), воспользуемся отношением отрезков касательных к кругу, считая их от \(K\) до касательных точек на \(AB\) и \(AC\).
Теперь подведем итог: По свойству деления вписанной окружности \(BK : KH\) будет равно отношению \(AB : AC\).
\[ BK : KH = AB : AC = 4 : 2 = 2 : 1 \]
Таким образом, ответ: \(BK : KH = 2 : 1\).
