На стороне АС треугольника АВС отмечена такая точка К, что периметры треугольников АВК и ВСК отличаются на 5 см. Найдите периметр треугольника АВС, если АВ + АК = 30 см.

Давайте разберем задачу шаг за шагом. Обозначим стороны треугольника следующим образом: - \( AB = a \) - \( BC = b \) - \( CA = c \) Из условия задачи нам известно следующее: 1. \( AB + AK = 30 \) см. 2. Периметры треугольников \( ABK \) и \( BCK \) отличаются на 5 см. Периметр треугольника \( ABK \) можно выразить как: \[ P_{ABK} = AB + BK + AK = a + BK + AK \] Периметр треугольника \( BCK \) можно выразить как: \[ P_{BCK} = BC + CK + BK = b + CK + BK \] Согласно условию, разность периметров равна 5 см: \[ P_{ABK} - P_{BCK} = 5 \] Подставим выражения для периметров: \[ (a + BK + AK) - (b + CK + BK) = 5 \] Упростим это уравнение: \[ a + AK - b - CK = 5 \] Теперь из выражения \( AB + AK = 30 \) мы можем выразить \( AK \): \[ AK = 30 - a \] Подставим \( AK \) в уравнение: \[ a + (30 - a) - b - CK = 5 \] \[ 30 - b - CK = 5 \] \[ CK = 30 - b - 5 \] \[ CK = 25 - b \] На этом этапе у нас есть два выражения: - \( AK = 30 - a \) - \( CK = 25 - b \) Теперь мы можем найти периметр треугольника \( ABC \): \[ P_{ABC} = AB + BC + CA = a + b + c \] Чтобы выразить \( c \), мы можем воспользоваться теорией о треугольниках или, если помним, еще одной зависимостью между сторонами и их значениями. Мы знаем, что: \[ c = AK + CK = (30 - a) + (25 - b) = 55 - a - b \] Таким образом, периметр треугольника \( ABC \): \[ P_{ABC} = a + b + (55 - a - b) = 55 \] Ответ: Периметр треугольника \( ABC \) равен 55 см.