Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Обозначим:
- ( x ) — количество литров воды, которое пропускает в минуту первая труба.
- ( x + 1 ) — количество литров воды, которое пропускает в минуту вторая труба (на 1 литр больше, чем первая).
Рассмотрим заполнение резервуара:
- Первая труба заполняет резервуар объемом 110 литров. Время, требуемое первой трубе для заполнения этого резервуара, можно выразить как ( \frac{110}{x} ) минут.
- Вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров. Время, требуемое второй трубе для заполнения этого резервуара, можно выразить как ( \frac{99}{x + 1} ) минут.
По условию задачи, первая труба заполняет свой резервуар на 2 минуты дольше, чем вторая труба. Это можно записать в виде уравнения:
[
\frac{110}{x} = \frac{99}{x + 1} + 2
]
Теперь решим это уравнение. Умножим обе стороны на ( x(x + 1) ), чтобы избавиться от дробей:
[
110(x + 1) = 99x + 2x(x + 1)
]
Раскроем скобки:
[
110x + 110 = 99x + 2x^2 + 2x
]
Соберем все термины в одну сторону:
[
2x^2 + (99x + 2x - 110x) - 110 = 0
]
Это упростится до:
[
2x^2 - 9x - 110 = 0
]
Теперь мы можем применить формулу для решения квадратных уравнений ( ax^2 + bx + c = 0 ):
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
Где ( a = 2 ), ( b = -9 ), ( c = -110 ).
Посчитаем дискриминант:
[
D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-110) = 81 + 880 = 961
]
Теперь подставим дискриминант в формулу:
[
x = \frac{9 \pm \sqrt{961}}{4}
]
Поскольку ( \sqrt{961} = 31 ):
[
x = \frac{9 \pm 31}{4}
]
Это дает два возможных значения:
- ( x = \frac{40}{4} = 10 )
- ( x = \frac{-22}{4} = -5.5 ) (это не имеет смысла, так как количество литров не может быть отрицательным)
Таким образом, первая труба пропускает 10 литров воды в минуту.
Следовательно, вторая труба пропускает ( 10 + 1 = 11 ) литров воды в минуту.
Итак, ответ: первая труба пропускает 10 литров воды в минуту.
