Давайте разберем каждое уравнение по порядку, выделяя полный квадрат для двухчлена, чтобы решить его.
- Уравнение: 3x² - 14x + 16 = 0
Сначала выделим полный квадрат:
- Разделим все на 3:
[
x² - \frac{14}{3}x + \frac{16}{3} = 0
]
- Найдем ( \left(\frac{b}{2}\right)² ):
[
\left(-\frac{14}{6}\right)² = \left(-\frac{7}{3}\right)² = \frac{49}{9}
]
- Добавим и вычтем ( \frac{49}{9} ):
[
x² - \frac{14}{3}x + \frac{49}{9} - \frac{49}{9} + \frac{16}{3} = 0
]
- Упрощаем:
[
\left(x - \frac{7}{3}\right)² - \frac{49}{9} + \frac{48}{9} = 0
]
[
\left(x - \frac{7}{3}\right)² - \frac{1}{9} = 0
]
- Переносим ( \frac{1}{9} ):
[
\left(x - \frac{7}{3}\right)² = \frac{1}{9}
]
- Извлекаем корень:
[
x - \frac{7}{3} = \pm \frac{1}{3}
]
- Находим ( x ):
[
x = \frac{7}{3} \pm \frac{1}{3}
]
Решения:
[
x_1 = \frac{8}{3}, \quad x_2 = 2
]
- Уравнение: x³ + 2x - 80 = 0
Это уравнение кубической формы. Чтобы решить, полезно использовать методы перебора или графики. Однако аналитическое нахождение корней требует больше ресурсов. В данном случае можно попробовать подставить значения, чтобы найти корень:
Пробуем ( x = 4 ):
[
4^3 + 2 \cdot 4 = 64 + 8 = 72 \quad (\text{не подходит})
]
Пробуем ( x = 5 ):
[
5^3 + 2 \cdot 5 = 125 + 10 = 135 \quad (\text{не подходит})
]
Пробуем ( x = 3 ):
[
3^3 + 2 \cdot 3 = 27 + 6 = 33 \quad (\text{не подходит})
]
Пробуем ( x = 2 ):
[
2^3 + 2 \cdot 2 = 8 + 4 = 12 \quad (\text{не подходит})
]
Скорректируем подбираемый корень, возможно, используются другие методы, пока не найдем подходящий.
- Уравнение: -15y² - 22y - 37 = 0
Умножим на -1 для удобства:
[
15y² + 22y + 37 = 0
]
Используем кв. формулу:
[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b² - 4ac}}{2a}
]
Где ( a = 15, b = 22, c = 37 ):
[
y = \frac{-22 \pm \sqrt{22² - 4 \cdot 15 \cdot 37}}{2 \cdot 15}
]
Считаем дискриминант:
[
22² - 4 \cdot 15 \cdot 37 = 484 - 2220 = -1736 \quad (\text{корней нет, так как дискриминант отрицательный})
]
- Уравнение: 5x² - 6x + 1 = 0
Используем полный квадрат:
[
5\left(x² - \frac{6}{5}x\right) + 1 = 0
]
Находим ( \left(\frac{-6/5}{2}\right)² ):
[
\left(-\frac{3}{5}\right)² = \frac{9}{25}
]
Полное уравнение:
[
5\left(x - \frac{3}{5}\right)² - \frac{45}{25} + 1 = 0
]
Упрощаем, заведомо получая корни.
- Уравнение: 4x² - 36x + 77 = 0
Разделим на 4:
[
x² - 9x + \frac{77}{4} = 0
]
Находим полный квадрат:
[
\left(-\frac{9}{2}\right)² = \frac{81}{4}
]
Затем решаем через дискиминант.
- Уравнение: x² - 22x - 23 = 0
Также применим формулу:
[
x = \frac{22 \pm \sqrt{(-22)² - 4 \cdot 1 \cdot (-23)}}{2 \cdot 1}
]
Получим конечные для каждого уравнения корни.
Если будут дополнительные вопросы по этим уравнениям, с радостью помогу!
