Небольшая шайба после удара скользит вверх по наклонной
плоскости из точки А (см, рис.). В точке В наклонная плос-
кость без излома переходит в наружную поверхность горизон-
тальной трубы радиусом R= 0,3 м. Если в точке А скорость
шайбы превосходит ц= 4 м/с, то в точке В шайба отрывается
от опоры. Длина наклонной плоскости АВ = L, угол а = 30°.
Коэффициент трения между наклонной плоскостью и шайбой
џ = 0,2. Найдите длину наклонной плоскости L.
Для решения задачи о движении шайбы по наклонной плоскости необходимо воспользоваться принципом сохранения энергии и законами динамики.
Исходные данные:
- Начальная скорость в точке А: \(v_A = 4 \, \text{м/с}\)
- Угол наклона наклонной плоскости: \(\alpha = 30^\circ\)
- Коэффициент трения между наклонной плоскостью и шайбой: \(\mu = 0,2\)
- Радиус трубы: \(R = 0,3 \, \text{м}\)
1. **Определяем силы, действующие на шайбу:**
- Сила тяжести: \(F_{\text{г}} = mg\),
- Нормальная сила \(N\) на наклонной плоскости: \(N = mg \cdot \cos(\alpha)\),
- Сила трения: \(F_{\text{трения}} = \mu N = \mu mg \cdot \cos(\alpha)\).
2. **Сила, действующая вдоль наклонной плоскости:**
- Сила, которая ускоряет шайбу вниз по наклонной плоскости: \(F_{\text{сила}} = mg \cdot \sin(\alpha) - F_{\text{трения}} = mg \cdot \sin(\alpha) - \mu mg \cdot \cos(\alpha)\).
3. **Обозначим массу шайбы как \(m\) и упростим выражение, учитывая, что масса сокращается из всех уравнений:**
\[
a = g \cdot \sin(\alpha) - \mu g \cdot \cos(\alpha).
\]
4. **Подставим известные значения:**
- Угловая величина: \(\alpha = 30^\circ\),
- \(g \approx 9,81 \, \text{м/с}^2\),
- \(\sin(30^\circ) = 0,5\) и \(\cos(30^\circ) \approx 0,866\).
Тогда:
\[
a = 9,81 \cdot 0,5 - 0,2 \cdot 9,81 \cdot 0,866.
\]
\[
a \approx 4,905 - 1,703 \approx 3,202 \, \text{м/с}^2.
\]
5. **Используем уравнение движения:**
Мы знаем, что конечная скорость в точке В (где шайба отрывается) равна нулю (поскольку это переход в трубу), и можем использовать уравнение кинематики:
\[
v_B^2 = v_A^2 + 2aL,
\]
При этом \(v_B = 0\):
\[
0 = 4^2 + 2(-a)L,
\]
\[
16 = 2(3,202)L,
\]
\[
L = \frac{16}{2 \cdot 3,202} \approx \frac{16}{6,404} \approx 2,49 \, \text{м}.
\]
Таким образом, длина наклонной плоскости \(L \approx 2,49 \, \text{м}\).
