Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки M, N и K, являющиеся серединами ребер АВ, ВС и DD1.
Для решения задачи о построении параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 и его сечения плоскостью, проходящей через точки M, N и K, необходимо следовать следующим шагам:
1. **Построим параллелепипед**:
- Обозначим вершины параллелепипеда:
- A(0, 0, 0)
- B(1, 0, 0)
- C(1, 1, 0)
- D(0, 1, 0)
- A1(0, 0, 1)
- B1(1, 0, 1)
- C1(1, 1, 1)
- D1(0, 1, 1)
- Изобразим его в трехмерной системе координат, соединяя соответствующие вершины.
2. **Определим координаты точек M, N и K**:
- Точка M — середина ребра AB:
\[
M = \left(\frac{0 + 1}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right)
\]
- Точка N — середина ребра BC:
\[
N = \left(\frac{1 + 1}{2}, \frac{0 + 1}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = \left(1, \frac{1}{2}, 0\right)
\]
- Точка K — середина ребра DD1:
\[
K = \left(0, \frac{1 + 1}{2}, \frac{0 + 1}{2}\right) = \left(0, 1, \frac{1}{2}\right)
\]
3. **Построим плоскость, проходящую через точки M, N и K**:
- Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через три точки, можно воспользоваться векторным методом.
- Сначала находим два вектора, лежащих в плоскости:
\[
\vec{MN} = N - M = \left(1 - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} - 0, 0 - 0\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)
\]
\[
\vec{MK} = K - M = \left(0 - \frac{1}{2}, 1 - 0, \frac{1}{2} - 0\right) = \left(-\frac{1}{2}, 1, \frac{1}{2}\right)
\]
- Теперь найдем векторное произведение векторов \(\vec{MN}\) и \(\vec{MK}\):
\[
\vec{MN} \times \vec{MK} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\
-\frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2}
\end{vmatrix}
\]
Вычислив детерминант, находим нормальный вектор к плоскости.
- Получив нормальный вектор \((A, B, C)\), уравнение плоскости можно выразить в виде:
\[
Ax + By + Cz + D = 0
\]
где D рассчитывается подставляя координаты одной из точек (например, точки M).
В результате получим уравнение плоскости, которое будет являться сечением параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 через точки M, N и K.
