Формулы Муавра, известные также как формулы Муавра для комплексных чисел, представляют собой мощный инструмент в математике, особенно в области комплексных чисел и тригонометрии. Эти формулы позволяют находить степени комплексных чисел, используя их полярные координаты.
Формула Муавра звучит следующим образом:
[
(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)
]
где:
- ( i ) — мнимая единица (где ( i^2 = -1 )),
- ( n ) — целое число,
- ( \theta ) — угол в радианах.
Для применения этой формулы, сначала необходимо преобразовать комплексное число в его полярную форму, которая записывается как ( r(\cos \theta + i \sin \theta) ) или ( re^{i\theta} ), где ( r ) — модуль комплексного числа, а ( \theta ) — аргумент (угол).
Следует помнить, что при возведении комплексного числа в степень ( n ) (пишется как ( z^n )), формула Муавра помогает вычислить результат:
[
z^n = r^n (\cos(n\theta) + i \sin(n\theta))
]
Это значит, что модуль ( z^n ) равен ( r^n ), а аргумент ( z^n ) равен ( n\theta ).
Таким образом, формулы Муавра упрощают вычисления и позволяют эффективно работать с комплексными числами в различных приложениях. Если есть дополнительные вопросы по этой теме или другим математическим концепциям, не стесняйтесь спрашивать!
