В амфитеатре 18 рядов. В первом ряду 14 мест, а в каждом следующем ряду на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
Для решения этой задачи сначала определим количество мест в каждом ряду амфитеатра.
- В первом ряду 14 мест.
- Во втором ряду на 2 места больше, чем в первом, то есть 14 + 2 = 16 мест.
- В третьем ряду снова на 2 места больше, чем во втором, то есть 16 + 2 = 18 мест.
- Так продолжаем до 18-го ряда.
Обозначим количество мест в n-ом ряду как \( M_n \). Тогда можно записать:
- \( M_1 = 14 \)
- \( M_2 = M_1 + 2 = 16 \)
- \( M_3 = M_2 + 2 = 18 \)
- и так далее...
Общее количество мест можно найти, складывая количество мест в каждом ряду. Можно заметить, что количество мест образует арифметическую прогрессию, где первый член \( a = 14 \), а разность \( d = 2 \).
Формула для n-го члена арифметической прогрессии:
\[ M_n = a + (n - 1) d \]
Теперь посчитаем количество мест в 18-м ряду:
\[ M_{18} = 14 + (18 - 1) \cdot 2 = 14 + 34 = 48 \]
Теперь находим общее количество мест:
\[ \text{Общее количество мест} = M_1 + M_2 + M_3 + ... + M_{18} \]
Для этого можно воспользоваться формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии:
\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (M_1 + M_n) \]
где \( n \) — количество рядов, \( M_n \) — количество мест в n-ом ряду.
Подставляем известные значения:
\[ S_{18} = \frac{18}{2} \cdot (M_1 + M_{18}) \] \[ S_{18} = 9 \cdot (14 + 48) \] \[ S_{18} = 9 \cdot 62 = 558 \]
Таким образом, в амфитеатре всего 558 мест.
