На какой высоте над поверхностью Земли ускорение свободного падения равно ускорению свободного падения на поверхности Луны? Для расчёта примите, что масса Луны в 81 раз меньше массы Земли.

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу для ускорения свободного падения на поверхности небесного тела: \[ g = \frac{GM}{r^2} \] где: - \( g \) — ускорение свободного падения, - \( G \) — гравитационная постоянная, - \( M \) — масса небесного тела, - \( r \) — радиус небесного тела. На поверхности Земли ускорение свободного падения \( g_e \) примерно равно \( 9.81 \, \text{м/с}^2 \). Мы знаем, что масса Луны \( M_L \) равна \( \frac{1}{81} M_E \) (где \( M_E \) — масса Земли). Ускорение свободного падения на Луне \( g_L \) можно посчитать следующим образом: \[ g_L = \frac{G \cdot \frac{1}{81} M_E}{r_L^2} \] Где \( r_L \) — радиус Луны. Ускорение свободного падения на Луне \( g_L \) примерно равно \( 1.62 \, \text{м/с}^2 \). Теперь, чтобы найти высоту \( h \), на которой ускорение свободного падения равно \( g_L \), можно приравнять ускорение свободного падения на высоте \( h \) над Землей к \( g_L \): \[ g_h = \frac{GM_E}{(R_E + h)^2} = g_L \] где \( R_E \) — радиус Земли. Подставим значение: \[ 1.62 = \frac{9.81 \cdot R_E^2}{(R_E + h)^2} \] Теперь выразим \( h \): \[ \frac{(R_E + h)^2}{R_E^2} = \frac{9.81}{1.62} \] Решим это уравнение для \( h \): 1. Вычислим коэффициент: \[ \frac{9.81}{1.62} \approx 6.06 \] 2. Тогда: \[ (R_E + h)^2 = 6.06 R_E^2 \] 3. Берём корень: \[ R_E + h = R_E \sqrt{6.06} \] 4. Теперь вычисляем: \[ h = R_E (\sqrt{6.06} - 1) \] Подставив значение радиуса Земли (~6371 км): \[ h \approx 6371 \cdot (\sqrt{6.06} - 1) \] Вычислив, получаем высоту примерно равную 5,27 км. Таким образом, высота над поверхностью Земли, на которой ускорение свободного падения равно ускорению свободного падения на поверхности Луны, составляет около 5,27 километра.