На какой высоте над поверхностью Земли ускорение свободного падения равно ускорению свободного падения на поверхности Луны? Для расчёта примите, что масса Луны в 81 раз меньше…

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу для ускорения свободного падения на поверхности небесного тела:

\[ g = \frac{GM}{r^2} \]

где:

• \( g \) — ускорение свободного падения,
• \( G \) — гравитационная постоянная,
• \( M \) — масса небесного тела,
• \( r \) — радиус небесного тела.

На поверхности Земли ускорение свободного падения \( g_e \) примерно равно \( 9.81 \, \text{м/с}^2 \).

Мы знаем, что масса Луны \( M_L \) равна \( \frac{1}{81} M_E \) (где \( M_E \) — масса Земли). Ускорение свободного падения на Луне \( g_L \) можно посчитать следующим образом:

\[ g_L = \frac{G \cdot \frac{1}{81} M_E}{r_L^2} \]

Где \( r_L \) — радиус Луны. Ускорение свободного падения на Луне \( g_L \) примерно равно \( 1.62 \, \text{м/с}^2 \).

Теперь, чтобы найти высоту \( h \), на которой ускорение свободного падения равно \( g_L \), можно приравнять ускорение свободного падения на высоте \( h \) над Землей к \( g_L \):

\[ g_h = \frac{GM_E}{(R_E + h)^2} = g_L \]

где \( R_E \) — радиус Земли.

Подставим значение:

\[ 1.62 = \frac{9.81 \cdot R_E^2}{(R_E + h)^2} \]

Теперь выразим \( h \):

\[ \frac{(R_E + h)^2}{R_E^2} = \frac{9.81}{1.62} \]

Решим это уравнение для \( h \):

1. Вычислим коэффициент:

\[ \frac{9.81}{1.62} \approx 6.06 \]

2. Тогда:

\[ (R_E + h)^2 = 6.06 R_E^2 \]

3. Берём корень:

\[ R_E + h = R_E \sqrt{6.06} \]

4. Теперь вычисляем:

\[ h = R_E (\sqrt{6.06} - 1) \]

Подставив значение радиуса Земли (~6371 км):

\[ h \approx 6371 \cdot (\sqrt{6.06} - 1) \]

Вычислив, получаем высоту примерно равную 5,27 км.

Таким образом, высота над поверхностью Земли, на которой ускорение свободного падения равно ускорению свободного падения на поверхности Луны, составляет около 5,27 километра.