Давайте поочередно решим ваши задачи.
Задача 1: В треугольнике ABC угол A равен 60°, стороны AB = 5, AC = 8. Найдите сторону BC.
Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов, которая гласит:
[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) ]
где ( c ) — сторона, противолежащая углу ( C ), а ( a ) и ( b ) — остальные две стороны.
В нашем случае:
- ( A = 60° )
- ( AB = 5 )
- ( AC = 8 )
Сначала найдем сторону ( BC ):
По теореме косинусов:
[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(A) ]
Подставляем известные значения:
[ BC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(60°) ]
Поскольку ( \cos(60°) = 0.5 ):
[ BC^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 0.5 ]
[ BC^2 = 25 + 64 - 40 ]
[ BC^2 = 49 ]
[ BC = \sqrt{49} = 7 ]
Таким образом, сторона BC равна 7.
Задача 2: В треугольнике ABC угол C равен 150°, стороны CB = ( 7\sqrt{3} ), AC = 1. Найдите сторону AB.
Используем снова теорему косинусов:
[ AB^2 = AC^2 + CB^2 - 2 \cdot AC \cdot CB \cdot \cos(C) ]
Подставляем значения:
[ AB^2 = 1^2 + (7\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 1 \cdot 7\sqrt{3} \cdot \cos(150°) ]
Сначала вычислим ( (7\sqrt{3})^2 = 147 ), и помним, что ( \cos(150°) = -\frac{\sqrt{3}}{2} ):
[ AB^2 = 1 + 147 + 2 \cdot 1 \cdot 7\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) ]
Теперь подсчитав:
[ AB^2 = 1 + 147 - 7 \cdot 3 ]
[ AB^2 = 1 + 147 - 21 ]
[ AB^2 = 127 ]
[ AB = \sqrt{127} ]
Таким образом, сторона AB равна ( \sqrt{127} ).
Задача 3: В треугольнике ABC угол B равен 45°, стороны BC = ( 6\sqrt{2} ), AC = 10. Найдите сторону AB.
Опять используем теорему косинусов:
[ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(B) ]
Подставляем значения:
[ AB^2 = 10^2 + (6\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 10 \cdot 6\sqrt{2} \cdot \cos(45°) ]
Значит, ( (6\sqrt{2})^2 = 72 ), а ( \cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} ):
[ AB^2 = 100 + 72 - 2 \cdot 10 \cdot 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} ]
Упрощаем:
[ AB^2 = 100 + 72 - 60 ]
[ AB^2 = 112 ]
[ AB = \sqrt{112} = 4\sqrt{7} ]
Таким образом, сторона AB равна ( 4\sqrt{7} ).
Если есть вопросы или нужны дополнительные объяснения, не стесняйтесь спрашивать!
