Чтобы составить квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, если один из корней равен (2 - \sqrt{5}), нам необходимо учитывать, что для квадратных уравнений с рациональными коэффициентами, корни должны быть сопряженными. Это означает, что если один корень (2 - \sqrt{5}), то второй корень будет (2 + \sqrt{5}).
Корни квадратного уравнения можно записать в виде:
[
x_1 = 2 - \sqrt{5}
]
[
x_2 = 2 + \sqrt{5}
]
Теперь мы можем использовать формулу для составления квадратного уравнения по его корням:
[
(x - x_1)(x - x_2) = 0
]
Подставим значения корней:
[
(x - (2 - \sqrt{5}))(x - (2 + \sqrt{5})) = 0
]
Раскроем скобки:
[
(x - 2 + \sqrt{5})(x - 2 - \sqrt{5}) = 0
]
Это можно упростить при помощи формулы разности квадратов:
[
= (x - 2)^2 - (\sqrt{5})^2 = 0
]
Теперь посчитаем:
[
= (x - 2)^2 - 5 = 0
]
Раскроем квадрат:
[
= x^2 - 4x + 4 - 5 = 0
]
Упрощаем:
[
x^2 - 4x - 1 = 0
]
Таким образом, квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, имеющее корень (2 - \sqrt{5}), будет следующим:
[
x^2 - 4x - 1 = 0
]
Если у вас есть какие-либо вопросы или вам нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь спрашивать!
