Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, если известно, что один из корней уравнения равен: 2-√5

Чтобы составить квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, если один из корней равен \(2 - \sqrt{5}\), нам необходимо учитывать, что для квадратных уравнений с рациональными коэффициентами, корни должны быть сопряженными. Это означает, что если один корень \(2 - \sqrt{5}\), то второй корень будет \(2 + \sqrt{5}\).

Корни квадратного уравнения можно записать в виде:

\[ x_1 = 2 - \sqrt{5} \] \[ x_2 = 2 + \sqrt{5} \]

Теперь мы можем использовать формулу для составления квадратного уравнения по его корням:

\[ (x - x_1)(x - x_2) = 0 \]

Подставим значения корней:

\[ (x - (2 - \sqrt{5}))(x - (2 + \sqrt{5})) = 0 \]

Раскроем скобки:

\[ (x - 2 + \sqrt{5})(x - 2 - \sqrt{5}) = 0 \]

Это можно упростить при помощи формулы разности квадратов:

\[ = (x - 2)^2 - (\sqrt{5})^2 = 0 \]

Теперь посчитаем:

\[ = (x - 2)^2 - 5 = 0 \]

Раскроем квадрат:

\[ = x^2 - 4x + 4 - 5 = 0 \]

Упрощаем:

\[ x^2 - 4x - 1 = 0 \]

Таким образом, квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, имеющее корень \(2 - \sqrt{5}\), будет следующим:

\[ x^2 - 4x - 1 = 0 \]

Если у вас есть какие-либо вопросы или вам нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь спрашивать!