Чтобы решить эту задачу, необходимо использовать формулу для объема цилиндра:
[ V = \pi r^2 h, ]
где ( V ) – объем, ( r ) – радиус основания цилиндра, а ( h ) – высота жидкости в цилиндре.
Первый цилиндр:
Давайте обозначим диаметр первого цилиндра как ( D_1 ) и радиус ( r_1 = \frac{D_1}{2} ). Уровень жидкости в первом цилиндре равен 2 см, значит высота жидкости ( h_1 = 2 ) см.
Объем жидкости в первом цилиндре можно выразить как:
[ V_1 = \pi r_1^2 h_1 = \pi \left(\frac{D_1}{2}\right)^2 \cdot 2. ]
Второй цилиндр:
Диаметр второго цилиндра составляет ( D_2 = \frac{D_1}{5} ), следовательно, радиус ( r_2 = \frac{D_2}{2} = \frac{D_1}{10} ). Объем жидкости останется тем же, так как мы просто переливаем её из одного сосуда в другой. Обозначим высоту жидкости во втором цилиндре как ( h_2 ):
[ V_2 = \pi r_2^2 h_2 = \pi \left(\frac{D_1}{10}\right)^2 \cdot h_2. ]
Так как объемы равны, получаем:
[ V_1 = V_2. ]
Подставим выражения:
[ \pi \left(\frac{D_1}{2}\right)^2 \cdot 2 = \pi \left(\frac{D_1}{10}\right)^2 \cdot h_2. ]
Сократим ( \pi ) и упростим уравнение:
[ \left(\frac{D_1}{2}\right)^2 \cdot 2 = \left(\frac{D_1}{10}\right)^2 \cdot h_2. ]
Запишем это в более понятном виде:
[ \frac{D_1^2}{4} \cdot 2 = \frac{D_1^2}{100} \cdot h_2. ]
Сократим ( D_1^2 ):
[ \frac{2}{4} = \frac{h_2}{100}. ]
Упрощаем:
[ \frac{1}{2} = \frac{h_2}{100}. ]
Теперь умножим обе стороны на 100:
[ h_2 = 50 \text{ см}. ]
Таким образом, уровень жидкости во втором цилиндрическом сосуде будет находиться на высоте 50 см.
