найдите значение выражения sin^2a*tga- cos^2a, если известно, что sina=1/3

Чтобы найти значение выражения \(\sin^2 a \cdot \tan a - \cos^2 a\), начнем с известного значения \(\sin a = \frac{1}{3}\).

1. Найдем \(\sin^2 a\): \[ \sin^2 a = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} \]

2. Найдем \(\cos a\) с помощью формулы \(\cos^2 a + \sin^2 a = 1\): \[ \cos^2 a = 1 - \sin^2 a = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \] Поэтому: \[ \cos a = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \quad (\cos a > 0, если a находится в первой четверти) \]

3. Теперь найдем \(\tan a\): \[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \quad (\text{умножив числитель и знаменатель на } \sqrt{2}) \]

4. Теперь подставим все найденные значения в выражение: \[ \tan a = \frac{\sqrt{2}}{4} \] Подставим в выражение: \[ \sin^2 a \cdot \tan a - \cos^2 a = \frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{8}{9} \]

5. Упростим: \[ \frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{36} \] Теперь выразим всё в одном знаменателе: \[ \frac{\sqrt{2}}{36} - \frac{8}{9} = \frac{\sqrt{2}}{36} - \frac{32}{36} = \frac{\sqrt{2} - 32}{36} \]

Таким образом, значение выражения \(\sin^2 a \cdot \tan a - \cos^2 a\) равно \(\frac{\sqrt{2} - 32}{36}\).