Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Обозначим двузначное число как ( 10a + b ), где ( a ) — это десятки, а ( b ) — это единицы. По условию задачи у нас есть две основные части:
Это число в 8 раз больше суммы его цифр:
[
10a + b = 8(a + b)
]
Это число на 58 больше произведения его цифр:
[
10a + b = ab + 58
]
Теперь решим первое уравнение. Раскроем скобки:
[
10a + b = 8a + 8b
]
Переносим все члены, содержащие ( a ) и ( b ), в одну сторону:
[
10a - 8a + b - 8b = 0
]
Это упрощается до:
[
2a - 7b = 0
]
Или:
[
2a = 7b \quad \Rightarrow \quad a = \frac{7b}{2}
]
Так как ( a ) и ( b ) — целые числа, ( 7b ) должно быть чётным, а значит, ( b ) должно быть чётным. Возможные значения ( b ) могут быть 0, 2, 4, 6, 8. Поскольку число двузначное, ( a ) должно быть от 1 до 9.
Проверим возможные значения для ( b ):
Если ( b = 2 ):
[
a = \frac{7 \cdot 2}{2} = 7 \quad \Rightarrow \quad число = 72
]
Если ( b = 4 ):
[
a = \frac{7 \cdot 4}{2} = 14 \quad \Rightarrow \quad не подходит (a > 9)
]
Если ( b = 0, 6, 8 ), то ( a ) невозможно получить целым (либо больше 9, либо отрицательное).
Теперь проверим полученное число ( 72 ) по второму условию:
Вычислим произведение цифр и проверим, на 58 ли это больше:
- Сумма цифр: ( 7 + 2 = 9 )
- Произведение цифр: ( 7 \cdot 2 = 14 )
Теперь подставим в равенство:
[
72 = 14 + 58
]
Это верно. Таким образом, двузначное число, которое отвечает всем условиям задачи, это ( 72 ).
