найдите двузначное число, которое в 8 раз больше суммы его цифр и на 58 больше их произведения
Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Обозначим двузначное число как \( 10a + b \), где \( a \) — это десятки, а \( b \) — это единицы. По условию задачи у нас есть две основные части:
Это число в 8 раз больше суммы его цифр:
\[ 10a + b = 8(a + b) \]Это число на 58 больше произведения его цифр:
\[ 10a + b = ab + 58 \]
Теперь решим первое уравнение. Раскроем скобки:
\[ 10a + b = 8a + 8b \]
Переносим все члены, содержащие \( a \) и \( b \), в одну сторону:
\[ 10a - 8a + b - 8b = 0 \]
Это упрощается до:
\[ 2a - 7b = 0 \]
Или:
\[ 2a = 7b \quad \Rightarrow \quad a = \frac{7b}{2} \]
Так как \( a \) и \( b \) — целые числа, \( 7b \) должно быть чётным, а значит, \( b \) должно быть чётным. Возможные значения \( b \) могут быть 0, 2, 4, 6, 8. Поскольку число двузначное, \( a \) должно быть от 1 до 9.
Проверим возможные значения для \( b \):
Если \( b = 2 \):
\[ a = \frac{7 \cdot 2}{2} = 7 \quad \Rightarrow \quad число = 72 \]Если \( b = 4 \):
\[ a = \frac{7 \cdot 4}{2} = 14 \quad \Rightarrow \quad не подходит (a > 9) \]Если \( b = 0, 6, 8 \), то \( a \) невозможно получить целым (либо больше 9, либо отрицательное).
Теперь проверим полученное число \( 72 \) по второму условию:
Вычислим произведение цифр и проверим, на 58 ли это больше:
- Сумма цифр: \( 7 + 2 = 9 \)
- Произведение цифр: \( 7 \cdot 2 = 14 \)
Теперь подставим в равенство:
\[ 72 = 14 + 58 \]
Это верно. Таким образом, двузначное число, которое отвечает всем условиям задачи, это \( 72 \).
