Чтобы найти объем куба, из которого отсекли треугольную призму, рассмотрим задачу более детально.
Объем треугольной призмы можно выразить через основание треугольника и высоту призмы. В данной задаче призма отсекается от куба плоскостью, которая проходит через середины двух рёбер, исходящих из одной вершины, и параллельна третьему ребру, выходящему из этой же вершины.
- Определим параметры куба. Пусть длина ребра куба равна ( a ). Тогда объем куба будет равен:
[
V_{куб} = a^3
]
Рассмотрим треугольную призму. Плоскость, проходящая через середины рёбер, образует треугольник с длинами, равными половине длины рёбер куба. То есть, каждая сторона треугольника будет равна ( \frac{a}{2} ).
Найдем площадь основания треугольной призмы. Площадь треугольника можно вычислить по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{8}
]
Определим высоту призмы. Высота призмы равна длине ребра куба ( a ).
Теперь найдем объем треугольной призмы. Объем призмы вычисляется по формуле:
[
V_{призмы} = S \cdot h = \frac{a^2}{8} \cdot a = \frac{a^3}{8}
]
Согласно условию задачи, объем треугольной призмы равен 32. Таким образом, мы имеем:
[
\frac{a^3}{8} = 32
]
- Решим это уравнение. Умножим обе стороны на 8:
[
a^3 = 32 \cdot 8 = 256
]
- Извлечем кубический корень:
[
a = \sqrt[3]{256} = 6.3496 \ldots
]
Объем куба равен:
[
V_{куб} = a^3 = 256
]
В итоге, объем куба равен 256 кубических единиц.
