i Расстояние между пристанями А и В равно 108 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас…

Для решения этой задачи сначала давайте обозначим некоторые переменные:

• \( V_b \) — скорость моторной лодки в неподвижной воде (км/ч).
• \( V_t = 5 \, \text{км/ч} \) — скорость течения реки.
• Скорость плотa, движущегося по течению реки, равна \( V_p = 5 \, \text{км/ч} \) (скорость течения) и давайте обозначим её как \( V_p = 5 \, \text{км/ч} \).

Когда плот отправился из пункта А в пункт Б, он прошел 50 км до момента, когда моторная лодка отправилась в путь. Так как плот двигался 50 км со скоростью \( V_p \), время, которое он провел в пути, можно найти по формуле:

\[ t = \frac{S}{V} = \frac{50}{5} = 10 \, \text{ч} \]

Таким образом, плот уже находился в пути 10 часов, когда моторная лодка начинала свой путь. Моторная лодка достигла пункта В и сразу же вернулась обратно в А. Давайте рассмотрим, сколько времени занимает лодка, чтобы добраться до пункта В, учитывая, что ей нужно преодолеть 108 км.

Когда лодка движется от А к В, ее скорость будет:

\[ V_{boat\_to\_B} = V_b + V_t = V_b + 5 \]

А обратно, от В к А, её скорость будет:

\[ V_{boat\_to\_A} = V_b - V_t = V_b - 5 \]

Теперь определим время \( t_B \) на путь от А до В и \( t_A \) на путь от В до А:

\[ t_B = \frac{108}{V_b + 5} \]

\[ t_A = \frac{108}{V_b - 5} \]

Поскольку лодка отправилась в путь спустя 1 час после плота, и по времени, когда она завершила свой путь, плот прошел 50 км, мы можем записать следующее уравнение:

\[ t_B + t_A = 10 + 1 \]

Подставим значения:

\[ \frac{108}{V_b + 5} + \frac{108}{V_b - 5} = 11 \]

Теперь найдем \( V_b \). Умножим уравнение на \( (V_b + 5)(V_b - 5) \):

\[ 108(V_b - 5) + 108(V_b + 5) = 11(V_b^2 - 25) \]

Упрощаем:

\[ 108V_b - 540 + 108V_b + 540 = 11V_b^2 - 275 \]

\[ 216V_b = 11V_b^2 - 275 \]

Приведем все к одной стороне:

\[ 11V_b^2 - 216V_b - 275 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-216)^2 - 4 \times 11 \times (-275) \]

\[ D = 46656 + 12100 = 58756 \]

Теперь находим корни уравнения:

\[ V_b = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{216 \pm \sqrt{58756}}{2 \times 11} \]

\[ \sqrt{58756} \approx 242.36 \]

Теперь подставим обратно:

\[ V_b = \frac{216 \pm 242.36}{22} \]

Решая получаем два значения, из которых выбираем положительное:

\[ V_b \approx \frac{458.36}{22} \approx 20.9 \, \text{км/ч} \]

Таким образом, скорость лодки в неподвижной воде составляет примерно 20.9 км/ч.