Для решения этой задачи сначала давайте обозначим некоторые переменные:
- ( V_b ) — скорость моторной лодки в неподвижной воде (км/ч).
- ( V_t = 5 , \text{км/ч} ) — скорость течения реки.
- Скорость плотa, движущегося по течению реки, равна ( V_p = 5 , \text{км/ч} ) (скорость течения) и давайте обозначим её как ( V_p = 5 , \text{км/ч} ).
Когда плот отправился из пункта А в пункт Б, он прошел 50 км до момента, когда моторная лодка отправилась в путь.
Так как плот двигался 50 км со скоростью ( V_p ), время, которое он провел в пути, можно найти по формуле:
[
t = \frac{S}{V} = \frac{50}{5} = 10 , \text{ч}
]
Таким образом, плот уже находился в пути 10 часов, когда моторная лодка начинала свой путь. Моторная лодка достигла пункта В и сразу же вернулась обратно в А. Давайте рассмотрим, сколько времени занимает лодка, чтобы добраться до пункта В, учитывая, что ей нужно преодолеть 108 км.
Когда лодка движется от А к В, ее скорость будет:
[
V_{boat_to_B} = V_b + V_t = V_b + 5
]
А обратно, от В к А, её скорость будет:
[
V_{boat_to_A} = V_b - V_t = V_b - 5
]
Теперь определим время ( t_B ) на путь от А до В и ( t_A ) на путь от В до А:
[
t_B = \frac{108}{V_b + 5}
]
[
t_A = \frac{108}{V_b - 5}
]
Поскольку лодка отправилась в путь спустя 1 час после плота, и по времени, когда она завершила свой путь, плот прошел 50 км, мы можем записать следующее уравнение:
[
t_B + t_A = 10 + 1
]
Подставим значения:
[
\frac{108}{V_b + 5} + \frac{108}{V_b - 5} = 11
]
Теперь найдем ( V_b ). Умножим уравнение на ( (V_b + 5)(V_b - 5) ):
[
108(V_b - 5) + 108(V_b + 5) = 11(V_b^2 - 25)
]
Упрощаем:
[
108V_b - 540 + 108V_b + 540 = 11V_b^2 - 275
]
[
216V_b = 11V_b^2 - 275
]
Приведем все к одной стороне:
[
11V_b^2 - 216V_b - 275 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-216)^2 - 4 \times 11 \times (-275)
]
[
D = 46656 + 12100 = 58756
]
Теперь находим корни уравнения:
[
V_b = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{216 \pm \sqrt{58756}}{2 \times 11}
]
[
\sqrt{58756} \approx 242.36
]
Теперь подставим обратно:
[
V_b = \frac{216 \pm 242.36}{22}
]
Решая получаем два значения, из которых выбираем положительное:
[
V_b \approx \frac{458.36}{22} \approx 20.9 , \text{км/ч}
]
Таким образом, скорость лодки в неподвижной воде составляет примерно 20.9 км/ч.
