найдите наименьшее значение e'2x-9e'x+4 на отрезке [1;4]
Чтобы найти наименьшее значение функции \( e^{2x} - 9e^x + 4 \) на отрезке \([1; 4]\), начнем с удобного обозначения: пусть \( y = e^x \). В таком случае, мы можем переписать нашу функцию в зависимости от \( y \):
\[ f(y) = y^2 - 9y + 4. \]
Теперь нам необходимо определить, при каких значениях \( y \) достигается минимум этой функции. Это квадратное уравнение можно решить, используя формулу для нахождения вершины параболы, которая у нас открыта вверх. Вершина находится по формуле:
\[ y = -\frac{b}{2a}, \]
где \( a = 1 \) и \( b = -9 \). Подставим значения:
\[ y = -\frac{-9}{2 \cdot 1} = \frac{9}{2} = 4.5. \]
Теперь нам нужно проверить, попадает ли \( y = 4.5 \) в наш промежуток для \( e^x \). Поскольку \( x \) колеблется от 1 до 4, то \( y \) будет изменяться от \( e^1 \) до \( e^4 \) (примерно от 2.71 до 54.6). Значение \( 4.5 \) находится в данном диапазоне.
Теперь вычислим значение функции на границах:
Для \( x = 1 \): \[ f(e^1) = f(e) = e^2 - 9e + 4. \]
Для \( x = 4 \): \[ f(e^4) = e^8 - 9e^4 + 4. \]
Теперь необходимо посчитать эти значения. Значения \( e \approx 2.718 \), поэтому:
\( e^2 \approx 7.39 \), \( 9e \approx 24.47 \): \[ f(e) \approx 7.39 - 24.47 + 4 \approx -13.08. \]
\( e^4 \approx 54.60 \), \( e^8 \approx 2980.96 \), \( 9e^4 \approx 491.40 \): \[ f(e^4) \approx 2980.96 - 491.40 + 4 \approx 2493.56. \]
Таким образом, на отрезке \([1; 4]\) нам необходимо сравнить \( f(e) \approx -13.08 \) и \( f(e^4) \approx 2493.56 \). Минимальное значение функции на заданном отрезке будет равно
\[ \min(-13.08, 2493.56) \approx -13.08. \]
Таким образом, наименьшее значение функции \( e^{2x} - 9e^x + 4 \) на отрезке \([1; 4]\) составляет примерно \(-13.08\).
