Для решения задачи воспользуемся свойствами ромба и его диагоналей.
Обозначим:
- ( d_1 ) и ( d_2 ) — длины диагоналей ромба;
- ( O ) — точка пересечения диагоналей;
- ( h ) — расстояние от точки ( O ) до одной из сторон ромба;
- ( a ) — сторона ромба.
Изначально известно, что одна из диагоналей ( d_1 = 68 ), а расстояние до стороны ( h = 17 ).
В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят его на четыре равных треугольника. Длина каждой половины диагонали равна:
[
d_1/2 = 34.
]
Обозначим ( d_2 ) как вторую диагональ. Тогда ( O ) делит её пополам, и можно записать:
[
\frac{d_2}{2} = x.
]
Для нахождения стороны ромба ( a ) воспользуемся теоремой Пифагора:
[
a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2,
]
откуда следует:
[
a^2 = 34^2 + x^2.
]
С другой стороны, мы можем найти сторону через прямую и угол, учитывая, что ( h ) — это высота, проведенная из центра ромба до стороны. В ромбе высота ( h ) может быть найдена по формуле:
[
h = \frac{d_1 \cdot d_2}{2a}.
]
Подставляем значения:
[
17 = \frac{68 \cdot d_2}{2a}.
]
Теперь выразим ( a ):
[
a = \frac{68 \cdot d_2}{34} = 2d_2.
]
Теперь подставим ( a ) в уравнение:
[
a^2 = 34^2 + x^2,
]
где ( x = \frac{d_2}{2} ). Подставляя, мы имеем:
[
(2d_2)^2 = 34^2 + d_2^2.
]
Упрощая:
[
4d_2^2 = 34^2 + d_2^2,
]
[
3d_2^2 = 34^2,
]
[
d_2^2 = \frac{34^2}{3}.
]
Тогда
[
d_2 = \frac{34}{\sqrt{3}}.
]
Теперь найдем углы ромба, используя отношение диагоналей. Угол (\alpha) между диагоналями связан с ними следующим образом:
[
\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\frac{d_2}{2}}{\frac{d_1}{2}} = \frac{d_2}{d_1} = \frac{17/\sqrt{3}}{34} = \frac{1}{2\sqrt{3}}.
]
Теперь вычисляем углы:
[
\frac{\alpha}{2} = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right).
]
Следовательно,
[
\alpha = 2 \cdot \tan^{-1}\left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right).
]
Также нужно учитывать, что в ромбе углы (\alpha) и (180^\circ - \alpha) образуются. В итоге, углы ромба можно выразить как:
[
\alpha; 180^\circ - \alpha; \alpha; 180^\circ - \alpha.
]
Теперь рассчитаем углы в числовом виде. Для ( \tan^{-1}\left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right) ) оценим:
[
\alpha \approx 20.86^\circ,
]
поэтому:
[
180^\circ - \alpha \approx 159.14^\circ.
]
Следовательно, углы ромба:
[
20.86; 159.14; 20.86; 159.14.
]
В итоге, запишем углы в порядке возрастания:
[
20.86; 20.86; 159.14; 159.14.
]
Но в ответ нужно взять целые градусы:
Таким образом, округляя, получаем:
[
21; 21; 159; 159.
]
Записываем в нужном формате:
[
21;21;159;159.
]
