Вычислить объем тела, образованного вращением вокр оси Ох фигуры, ограниченной данными линиями.Параболой y = 4x - x ^ 2 и прямыми y = 0 x = 0 x = 3
Для нахождения объема тела, образованного вращением заданной фигуры вокруг оси \(Ox\), мы можем использовать метод дисков или цилиндров.
Определим границы интегрирования: Сначала найдем точки пересечения параболы \(y = 4x - x^2\) с осью \(y = 0\): \[ 4x - x^2 = 0 \] Вынесем \(x\) за скобки: \[ x(4 - x) = 0 \] Это дает корни \(x = 0\) и \(x = 4\). Однако, поскольку у нас есть ограничение \(x = 3\), наши границы интегрирования будут от \(0\) до \(3\).
Запишем выражение для объема: Объем \(V\) будет вычисляться по формуле: \[ V = \pi \int_{a}^{b} (f(x))^2 \, dx \] Где \(f(x) = 4x - x^2\), а границы интегрирования: \[ a = 0, \quad b = 3. \]
Запишем интеграл: \[ V = \pi \int_{0}^{3} (4x - x^2)^2 \, dx \]
Упростим выражение: \[ (4x - x^2)^2 = 16x^2 - 8x^3 + x^4. \] Таким образом, интеграл становится: \[ V = \pi \int_{0}^{3} (16x^2 - 8x^3 + x^4) \, dx. \]
Вычислим интеграл: \[ \int (16x^2 - 8x^3 + x^4) \, dx = \frac{16x^3}{3} - 2x^4 + \frac{x^5}{5} + C. \] Теперь подставим границы от \(0\) до \(3\): \[ V = \pi \left[ \left(\frac{16 \cdot 3^3}{3} - 2 \cdot 3^4 + \frac{3^5}{5}\right) - \left(0\right) \right]. \]
Теперь вычислим каждую часть:
- \(\frac{16 \cdot 3^3}{3} = \frac{16 \cdot 27}{3} = 144\),
- \(-2 \cdot 3^4 = -2 \cdot 81 = -162\),
- \(\frac{3^5}{5} = \frac{243}{5}\).
Сложим эти значения: \[ V = \pi \left(144 - 162 + \frac{243}{5}\right) = \pi \left(-18 + \frac{243}{5}\right). \] Приведем к одному знаменателю: \[ -18 = -\frac{90}{5} \quad \Rightarrow \quad V = \pi \left(\frac{-90 + 243}{5}\right) = \pi \left(\frac{153}{5}\right). \]
Итак, итоговый объем: \[ V = \frac{153\pi}{5}. \]
Таким образом, объем тела, образованного вращением фигуры вокруг оси \(Ox\), равен \(\frac{153\pi}{5}\) кубических единиц.
