Чтобы найти площадь треугольника BMC, нам нужно воспользоваться формулой для площади треугольника через две стороны и угол между ними.
У нас есть:
- Сторона AB = 7 см,
- Сторона BC = 12 см,
- Угол ABC = 150°.
Сначала найдем сторону AC с помощью теоремы косинусов, так как у нас есть две стороны и угол между ними. Согласно теореме косинусов, мы можем выразить AC следующим образом:
[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(ABC) ]
Подставим известные значения:
[ AC^2 = 7^2 + 12^2 - 2 \cdot 7 \cdot 12 \cdot \cos(150°) ]
Сначала вычислим значения:
[ AB^2 = 49, ]
[ BC^2 = 144, ]
[ \cos(150°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}. ]
Теперь подставим их в формулу:
[ AC^2 = 49 + 144 - 2 \cdot 7 \cdot 12 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) ]
[ = 49 + 144 + 84\sqrt{3}. ]
Теперь, чтобы найти площадь треугольника BMC, мы можем воспользоваться формулой для площади через медиану. Площадь треугольника BMC можно выразить как половину площади всего треугольника ABC, поскольку медиана BM делит треугольник на два треугольника одинаковой площади.
Сначала найдем площадь всего треугольника ABC. Используем формулу площади:
[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(ABC). ]
Где угол ABC равен 150°, поэтому:
[ \sin(150°) = \sin(30°) = \frac{1}{2}. ]
Таким образом:
[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2} = \frac{7 \cdot 12}{4} = \frac{84}{4} = 21 \text{ см}^2. ]
Теперь, так как медиана делит треугольник на два равных треугольника, получаем:
[ S_{BMC} = \frac{S_{ABC}}{2} = \frac{21}{2} = 10.5 \text{ см}^2. ]
Итак, площадь треугольника BMC равна 10.5 см².
