Дана треугольная пирамида DABC, DA перпендикулярно (ABC) , AB = 9 см, AC = 12 см, BC = 15 см, угол ADB = 45 градусов .Найдите объем пирамиды.

Чтобы найти объем треугольной пирамиды \( DABC \), нам потребуется использовать формулу для объема пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot h, \]

где \( S_{ABC} \) — площадь основания треугольника \( ABC \), а \( h \) — высота пирамиды, которая в данном случае равна длине отрезка \( DA \).

Шаг 1: Находим площадь треугольника ABC.

Для нахождения площади треугольника используем формулу Герона. Сначала найдем полупериметр:

\[ p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{9 \, \text{см} + 12 \, \text{см} + 15 \, \text{см}}{2} = 18 \, \text{см}. \]

Теперь найдем площадь \( S_{ABC} \):

\[ S_{ABC} = \sqrt{p \cdot (p - AB) \cdot (p - AC) \cdot (p - BC)}. \] Подставляем известные значения:

\[ S_{ABC} = \sqrt{18 \cdot (18 - 9) \cdot (18 - 12) \cdot (18 - 15)} = \sqrt{18 \cdot 9 \cdot 6 \cdot 3}. \]

Теперь вычислим это выражение:

\[ S_{ABC} = \sqrt{18 \cdot 9 \cdot 6 \cdot 3} = \sqrt{2916} = 54 \, \text{см}^2. \]

Шаг 2: Находим высоту пирамиды \( h = DA \).

У нас есть угол \( ADB = 45^\circ \). С помощью тригонометрии можем выразить \( DA \) через \( AB \):

\[ \tan(45^\circ) = \frac{DA}{AB} \implies DA = AB \cdot \tan(45^\circ). \]

Поскольку \( \tan(45^\circ) = 1 \):

\[ DA = 9 \, \text{см}. \]

Шаг 3: Находим объем пирамиды.

Теперь подставляем значения в формулу для объема:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 54 \, \text{см}^2 \cdot 9 \, \text{см}. \]

Вычислим объем:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot 486 \, \text{см}^3 = 162 \, \text{см}^3. \]

Таким образом, объем пирамиды \( DABC \) составляет \( 162 \, \text{см}^3 \).