Чтобы найти объем треугольной пирамиды ( DABC ), нам потребуется использовать формулу для объема пирамиды:
[
V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot h,
]
где ( S_{ABC} ) — площадь основания треугольника ( ABC ), а ( h ) — высота пирамиды, которая в данном случае равна длине отрезка ( DA ).
Шаг 1: Находим площадь треугольника ABC.
Для нахождения площади треугольника используем формулу Герона. Сначала найдем полупериметр:
[
p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{9 , \text{см} + 12 , \text{см} + 15 , \text{см}}{2} = 18 , \text{см}.
]
Теперь найдем площадь ( S_{ABC} ):
[
S_{ABC} = \sqrt{p \cdot (p - AB) \cdot (p - AC) \cdot (p - BC)}.
]
Подставляем известные значения:
[
S_{ABC} = \sqrt{18 \cdot (18 - 9) \cdot (18 - 12) \cdot (18 - 15)} = \sqrt{18 \cdot 9 \cdot 6 \cdot 3}.
]
Теперь вычислим это выражение:
[
S_{ABC} = \sqrt{18 \cdot 9 \cdot 6 \cdot 3} = \sqrt{2916} = 54 , \text{см}^2.
]
Шаг 2: Находим высоту пирамиды ( h = DA ).
У нас есть угол ( ADB = 45^\circ ). С помощью тригонометрии можем выразить ( DA ) через ( AB ):
[
\tan(45^\circ) = \frac{DA}{AB} \implies DA = AB \cdot \tan(45^\circ).
]
Поскольку ( \tan(45^\circ) = 1 ):
[
DA = 9 , \text{см}.
]
Шаг 3: Находим объем пирамиды.
Теперь подставляем значения в формулу для объема:
[
V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 54 , \text{см}^2 \cdot 9 , \text{см}.
]
Вычислим объем:
[
V = \frac{1}{3} \cdot 486 , \text{см}^3 = 162 , \text{см}^3.
]
Таким образом, объем пирамиды ( DABC ) составляет ( 162 , \text{см}^3 ).
