Расстояние между пристанями А и В равно 60 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 2 часа вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 40 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Для решения этой задачи давайте обозначим скорость моторной лодки в неподвижной воде как \(v\) км/ч. 1. **Определим скорость плота и времени его движения:** Поскольку плот движется по течению реки, его скорость будет равна сумме скорости течения и скорости плота в неподвижной воде. Однако, так как у нас нет скорости плота в неподвижной воде, мы можем считать его скорость равной скорости течения. Таким образом, скорость плота \(v_{\text{плота}} = 4\) км/ч. Плот движется в течение 2 часов до начала движения лодки и затем еще какое-то время, пока лодка движется в пункт В и обратно. За 2 часа плот проплыл: \[ S_{\text{плота}} = v_{\text{плота}} \cdot t = 4 \cdot 2 = 8 \text{ км}. \] После этого плот проплыл еще 32 км (так как всего он проплыл 40 км), это занимало у него: \[ t_{\text{плота}} = \frac{32}{4} = 8 \text{ часа}. \] Общая продолжительность движения плота составляет: \[ t_{\text{плота, общий}} = 2 + 8 = 10 \text{ часа}. \] 2. **Определим время, за которое лодка добирается до пункта В и обратно:** Лодка отправляется через 2 часа после плота, поэтому в момент отправления лодки плот уже прошло 8 км, и ему осталось до пункта В 52 км. Время, которое плот все еще движется до пункта В: \[ t_{\text{плота до В}} = \frac{52}{4} = 13 \text{ часа}. \] Но это время не может быть, так как за 10 часов лодка достигнет В, включая ее движение туда и обратно. Ладно, похоже, что я немного запутался. Давайте вернемся к времени лодки. 3. **Расчет времени на движение лодки:** Лодка движется от А до В (по течению) и обратно (против течения): - Время на путь от А до В: \[ t_{\text{лодки до В}} = \frac{60}{v + 4}. \] - Время на путь от В до А: \[ t_{\text{лодки обратно}} = \frac{60}{v - 4}. \] Общая сумма времени лодки должна составить: \[ t_{\text{лодки до В}} + t_{\text{лодки обратно}} = t_{\text{плота}} - 2, \] где \(t_{\text{плота}} = t_{\text{общее}} = 13\), значит: \[ \frac{60}{v + 4} + \frac{60}{v - 4} = 10. \] 4. **Решим уравнение:** Сначала упростим уравнение: \[ 60(v - 4) + 60(v + 4) = 10(v^2 - 16), \] что упрощается до: \[ 120v = 10v^2 - 160. \] Приведем всё к одному уравнению: \[ 10v^2 - 120v - 160 = 0. \] Упростим это уравнение: \[ v^2 - 12v - 16 = 0. \] Применим формулу для решения квадратного уравнения \(v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\): \[ v = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 64}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{208}}{2} = \frac{12 \pm 4\sqrt{13}}{2} = 6 \pm 2\sqrt{13}. \] Положительное значение: \[ v = 6 + 2\sqrt{13}. \] 5. **Приблизительное значение:** \( \sqrt{13} \approx 3.6 \), тогда \( 2\sqrt{13} \approx 7.2 \): \[ v \approx 13.2 \text{ км/ч}. \] Таким образом, скорость лодки в неподвижной воде составляет approximately \( 13.2 \) км/ч.