Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 15 см ,а его площадь 54 см². найти катеты

Для решения задачи о прямоугольном треугольнике, где известна гипотенуза и площадь, мы можем использовать следующие формулы. Пусть \( a \) и \( b \) — катеты прямоугольного треугольника. Мы знаем, что: 1. По теореме Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] Где \( c \) — гипотенуза, в нашем случае \( c = 15 \) см. Таким образом, \[ a^2 + b^2 = 15^2 = 225. \] Это уравнение (1). 2. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b. \] В задаче площадь равна 54 см². Значит, \[ \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 54 \] Это уравнение можно выразить как: \[ a \cdot b = 108. \] Это уравнение (2). Теперь у нас есть система уравнений: 1. \( a^2 + b^2 = 225 \) (уравнение 1) 2. \( a \cdot b = 108 \) (уравнение 2) Чтобы решить систему, выразим \( b \) через \( a \) из уравнения (2): \[ b = \frac{108}{a}. \] Теперь подставим это значение в уравнение (1): \[ a^2 + \left(\frac{108}{a}\right)^2 = 225. \] Упростим это уравнение: \[ a^2 + \frac{11664}{a^2} = 225. \] Умножим все на \( a^2 \) (принимая во внимание, что \( a \neq 0 \)): \[ a^4 - 225a^2 + 11664 = 0. \] Теперь сделаем замену \( x = a^2 \). У нас получится квадратное уравнение: \[ x^2 - 225x + 11664 = 0. \] Решим его с использованием дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 225^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11664. \] \[ D = 50625 - 46656 = 3969. \] Теперь находим корни: \[ x = \frac{225 \pm \sqrt{3969}}{2}. \] \[ \sqrt{3969} = 63, \] следовательно, \[ x_1 = \frac{225 + 63}{2} = 144, \] \[ x_2 = \frac{225 - 63}{2} = 81. \] Поскольку \( x = a^2 \), то: \[ a^2 = 144 \Rightarrow a = 12, \] \[ b^2 = 81 \Rightarrow b = 9. \] Итак, катеты прямоугольного треугольника равны \( 12 \) см и \( 9 \) см. Ответ: катеты равны 12 см и 9 см.