Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 15 см ,а его площадь 54 см². найти катеты
Для решения задачи о прямоугольном треугольнике, где известна гипотенуза и площадь, мы можем использовать следующие формулы.
Пусть \( a \) и \( b \) — катеты прямоугольного треугольника. Мы знаем, что:
По теореме Пифагора:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Где \( c \) — гипотенуза, в нашем случае \( c = 15 \) см.
Таким образом,
\[ a^2 + b^2 = 15^2 = 225. \]
Это уравнение (1).Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b. \]
В задаче площадь равна 54 см². Значит,
\[ \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 54 \]
Это уравнение можно выразить как:
\[ a \cdot b = 108. \]
Это уравнение (2).
Теперь у нас есть система уравнений:
- \( a^2 + b^2 = 225 \) (уравнение 1)
- \( a \cdot b = 108 \) (уравнение 2)
Чтобы решить систему, выразим \( b \) через \( a \) из уравнения (2): \[ b = \frac{108}{a}. \]
Теперь подставим это значение в уравнение (1): \[ a^2 + \left(\frac{108}{a}\right)^2 = 225. \]
Упростим это уравнение: \[ a^2 + \frac{11664}{a^2} = 225. \]
Умножим все на \( a^2 \) (принимая во внимание, что \( a \neq 0 \)): \[ a^4 - 225a^2 + 11664 = 0. \]
Теперь сделаем замену \( x = a^2 \). У нас получится квадратное уравнение: \[ x^2 - 225x + 11664 = 0. \]
Решим его с использованием дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 225^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11664. \] \[ D = 50625 - 46656 = 3969. \]
Теперь находим корни: \[ x = \frac{225 \pm \sqrt{3969}}{2}. \] \[ \sqrt{3969} = 63, \] следовательно, \[ x_1 = \frac{225 + 63}{2} = 144, \] \[ x_2 = \frac{225 - 63}{2} = 81. \]
Поскольку \( x = a^2 \), то: \[ a^2 = 144 \Rightarrow a = 12, \] \[ b^2 = 81 \Rightarrow b = 9. \]
Итак, катеты прямоугольного треугольника равны \( 12 \) см и \( 9 \) см.
Ответ: катеты равны 12 см и 9 см.
