Чтобы найти длину отрезка AC, воспользуемся свойством касательной и секущей. Из точки A проведена касательная AB и секущая AD, пересекающая окружность в точке C.
Согласно теореме о касательной и секущей:
( AB^2 = AC \cdot AD )
Дано:
- ( AB = 6\sqrt{2} )
- ( CD = 5 )
- Тогда ( AD = AC + CD = AC + 5 )
Теперь подставим значения в уравнение:
[
(6\sqrt{2})^2 = AC \cdot (AC + 5)
]
Посчитаем ( (6\sqrt{2})^2 ):
[
36 \cdot 2 = 72
]
Теперь подставим это значение в уравнение:
[
72 = AC \cdot (AC + 5)
]
Раскроем скобки:
[
72 = AC^2 + 5AC
]
Переносим все члены в одну сторону:
[
AC^2 + 5AC - 72 = 0
]
Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта. Дискриминант ( D ) вычисляется по формуле:
[
D = b^2 - 4ac
]
где ( a = 1 ), ( b = 5 ), ( c = -72 ).
Посчитаем:
[
D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 25 + 288 = 313
]
Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы:
[
AC = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставляя значения:
[
AC = \frac{-5 \pm \sqrt{313}}{2}
]
Из этих двух решений нас интересует только положительный корень, так как длина не может быть отрицательной. Следовательно, длина отрезка ( AC ) будет
[
AC = \frac{-5 + \sqrt{313}}{2}.
]
Таким образом, длина отрезка ( AC ) равна ( \frac{-5 + \sqrt{313}}{2} ).
