В основании прямой треугольной призмы лежит равнобедренный прямоугольный треугольник. Высота треугольника, проведённая к гипотенузе, равна длине бокового ребра. Найди объём…

Обозначим длину катетов равнобедренного прямоугольного треугольника как \( a \). В таком треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, делит его на два прямоугольных треугольника. Так как треугольник равнобедренный, то обе высоты равны и составляют одну сторону.

Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника рассчитывается по теореме Пифагора: \[ c = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \]

Высота, проведённая к гипотенузе, равна: \[ h = \frac{a^2}{c} = \frac{a^2}{a\sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \]

В условиях задачи указано, что эта высота равна длине бокового ребра, то есть: \[ \frac{a\sqrt{2}}{2} = 5 \]

Умножим обе стороны уравнения на 2: \[ a\sqrt{2} = 10 \] Теперь разделим на \(\sqrt{2}\): \[ a = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \]

Теперь находим площадь основания призмы. Площадь \( S \) основаниe, которое является равнобедренным прямоугольным треугольником, рассчитывается по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2} \cdot (5\sqrt{2}) \cdot (5\sqrt{2}) = \frac{1}{2} \cdot 50 = 25 \]

Объем \( V \) прямой треугольной призмы рассчитывается по формуле: \[ V = S \cdot h, \] где \( S \) — площадь основания, а \( h \) — высота призмы (длина бокового ребра), тогда: \[ V = 25 \cdot 5 = 125 \]

Таким образом, объем призмы равен: \[ \boxed{125} \]