Обозначим длину катетов равнобедренного прямоугольного треугольника как ( a ). В таком треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, делит его на два прямоугольных треугольника. Так как треугольник равнобедренный, то обе высоты равны и составляют одну сторону.
Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника рассчитывается по теореме Пифагора:
[
c = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}
]
Высота, проведённая к гипотенузе, равна:
[
h = \frac{a^2}{c} = \frac{a^2}{a\sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}
]
В условиях задачи указано, что эта высота равна длине бокового ребра, то есть:
[
\frac{a\sqrt{2}}{2} = 5
]
Умножим обе стороны уравнения на 2:
[
a\sqrt{2} = 10
]
Теперь разделим на (\sqrt{2}):
[
a = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}
]
Теперь находим площадь основания призмы. Площадь ( S ) основаниe, которое является равнобедренным прямоугольным треугольником, рассчитывается по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2} \cdot (5\sqrt{2}) \cdot (5\sqrt{2}) = \frac{1}{2} \cdot 50 = 25
]
Объем ( V ) прямой треугольной призмы рассчитывается по формуле:
[
V = S \cdot h,
]
где ( S ) — площадь основания, а ( h ) — высота призмы (длина бокового ребра),
тогда:
[
V = 25 \cdot 5 = 125
]
Таким образом, объем призмы равен:
[
\boxed{125}
]
