Цилиндр образован вращением прямоугольника с диагональю 15 см вокруг стороны длиной 12 см. Найдите площадь поверхности и объем цилиндра.
Цилиндр образуется вращением прямоугольника вокруг одной из своих сторон. В данном случае, у нас есть прямоугольник с диагональю 15 см и одной стороной длиной 12 см.
Первым делом, давайте найдем другую сторону прямоугольника, обозначим её как \( h \). По теореме Пифагора для диагонали можно записать следующее уравнение:
\[ d^2 = a^2 + b^2, \]
где \( d \) – диагональ, \( a \) – одна сторона (в нашем случае 12 см), \( b \) – другая сторона.
Подставим значения:
\[ 15^2 = 12^2 + h^2. \]
Сначала вычислим \( 15^2 \) и \( 12^2 \):
\[ 225 = 144 + h^2. \]
Теперь вычтем 144 из обеих сторон:
\[ 225 - 144 = h^2, \]
\[ 81 = h^2. \]
Теперь найдем \( h \):
\[ h = \sqrt{81} = 9 \text{ см}. \]
Теперь мы знаем, что высота цилиндра \( h = 9 \) см, а радиус \( r \) цилиндра равен длине стороны, вокруг которой вращается прямоугольник (в данном случае 12 см).
Теперь можем найти площадь поверхности и объем цилиндра.
- Площадь поверхности цилиндра рассчитывается по формуле:
\[ S = 2\pi r (r + h), \]
где \( r \) – радиус, \( h \) – высота.
Подставим наши значения:
\[ S = 2\pi \cdot 12 \cdot (12 + 9) = 2\pi \cdot 12 \cdot 21 = 504\pi \text{ см}^2. \]
- Объем цилиндра можно найти по формуле:
\[ V = \pi r^2 h. \]
Подставим значения:
\[ V = \pi \cdot 12^2 \cdot 9 = \pi \cdot 144 \cdot 9 = 1296\pi \text{ см}^3. \]
Таким образом, площадь поверхности цилиндра составляет \( 504\pi \) см², а объем равен \( 1296\pi \) см³.
