Цилиндр образуется вращением прямоугольника вокруг одной из своих сторон. В данном случае, у нас есть прямоугольник с диагональю 15 см и одной стороной длиной 12 см.
Первым делом, давайте найдем другую сторону прямоугольника, обозначим её как ( h ). По теореме Пифагора для диагонали можно записать следующее уравнение:
[
d^2 = a^2 + b^2,
]
где ( d ) – диагональ, ( a ) – одна сторона (в нашем случае 12 см), ( b ) – другая сторона.
Подставим значения:
[
15^2 = 12^2 + h^2.
]
Сначала вычислим ( 15^2 ) и ( 12^2 ):
[
225 = 144 + h^2.
]
Теперь вычтем 144 из обеих сторон:
[
225 - 144 = h^2,
]
[
81 = h^2.
]
Теперь найдем ( h ):
[
h = \sqrt{81} = 9 \text{ см}.
]
Теперь мы знаем, что высота цилиндра ( h = 9 ) см, а радиус ( r ) цилиндра равен длине стороны, вокруг которой вращается прямоугольник (в данном случае 12 см).
Теперь можем найти площадь поверхности и объем цилиндра.
- Площадь поверхности цилиндра рассчитывается по формуле:
[
S = 2\pi r (r + h),
]
где ( r ) – радиус, ( h ) – высота.
Подставим наши значения:
[
S = 2\pi \cdot 12 \cdot (12 + 9) = 2\pi \cdot 12 \cdot 21 = 504\pi \text{ см}^2.
]
- Объем цилиндра можно найти по формуле:
[
V = \pi r^2 h.
]
Подставим значения:
[
V = \pi \cdot 12^2 \cdot 9 = \pi \cdot 144 \cdot 9 = 1296\pi \text{ см}^3.
]
Таким образом, площадь поверхности цилиндра составляет ( 504\pi ) см², а объем равен ( 1296\pi ) см³.
