Для решения задачи сначала определим высоту, на которую мяч поднялся, используя информацию о кинетической энергии.
Кинетическая энергия (КЭ) мячика равна:
[ K = \frac{mv^2}{2} ]
где ( m ) — масса мяча (в килограммах), ( v ) — скорость мяча в момент, когда его поймали.
Масса мяча в граммах — 100 г, а в килограммах:
[ m = \frac{100}{1000} = 0,1 , \text{кг} ]
Подставим известную кинетическую энергию:
[ 0,5 = \frac{0,1 \cdot v^2}{2} ]
Решим это уравнение относительно скорости ( v ):
[ 0,5 = 0,05 \cdot v^2 ]
Умножим обе стороны на 20:
[ 10 = v^2 ]
Теперь найдем скорость:
[ v = \sqrt{10} \approx 3,16 , \text{м/с} ]
Теперь мы знаем скорость мячика в момент, когда его поймали. Далее, чтобы найти высоту относительно земли, на которую поднялся мяч, нам нужно учесть высоту, уже пройденную до момента, когда он начал падать:
Когда мяч поднимался на высоту 2 м, его потенциальная энергия (ПЭ) в этой точке была равна:
[ PE = mgh ]
где ( g ) — ускорение свободного падения (приблизительно 9,81 м/с²), и на высоте 2 м:
[ PE = 0,1 \cdot 9,81 \cdot 2 = 1,962 , \text{Дж} ]
На высоте 2 м мяч имел кинетическую энергию, равную потенциальной энергии, если пренебречь сопротивлением воздуха.
Теперь, когда мяч поднимался выше и приобрел кинетическую энергию, его потенциальная энергия в момент поймки будет равна:
[ PE_{total} = mgh_{total} = mgh_{1} + K ]
где ( h_{total} ) — итоговая высота, ( h_{1} ) — уже пройденная высота (2 м), а ( K ) — кинетическая энергия (0,5 Дж).
Подставим значения:
[ mgh_{total} = mgh_{1} + K ]
[ 0,1 \cdot 9,81 \cdot h_{total} = 0,1 \cdot 9,81 \cdot 2 + 0,5 ]
Решим это уравнение. Сначала вычислим ( 0,1 \cdot 9,81 \cdot 2 ):
[ 0,1 \cdot 9,81 \cdot 2 = 1,962 , \text{Дж} ]
Теперь подставим все в уравнение:
[ 0,1 \cdot 9,81 \cdot h_{total} = 1,962 + 0,5 ]
[ 0,1 \cdot 9,81 \cdot h_{total} = 2,462 ]
Теперь найдем высоту ( h_{total} ):
[ h_{total} = \frac{2,462}{0,981} \approx 2,51 , \text{м} ]
Таким образом, высота, на которой мячик поймали, составляет примерно 2,51 метра относительно земли.
