Проводится серия из 6 независимых испытаний бернулли с вероятностью успеха p 1/4 найдите вероятность элементарного события в котором сначала наступает два успеха а затем 4 неудачи

Давайте разберем задачу шаг за шагом. У нас есть 6 независимых испытаний Бернулли, где вероятность успеха \( p = \frac{1}{4} \) и вероятность неудачи \( q = 1 - p = \frac{3}{4} \). Мы хотим найти вероятность элементарного события, в котором сначала наступают два успеха, а затем четыре неудачи. Это означает, что последовательность испытаний будет следующей: Успех, Успех, Неудача, Неудача, Неудача, Неудача (обозначим эту последовательность как UUXXXX). Вероятность такого исхода можно вычислить, умножив вероятности каждого события: 1. Вероятность первого успеха (U): \( \frac{1}{4} \) 2. Вероятность второго успеха (U): \( \frac{1}{4} \) 3. Вероятность первой неудачи (X): \( \frac{3}{4} \) 4. Вероятность второй неудачи (X): \( \frac{3}{4} \) 5. Вероятность третьей неудачи (X): \( \frac{3}{4} \) 6. Вероятность четвертой неудачи (X): \( \frac{3}{4} \) Теперь перемножим все эти вероятности: \[ P(UUXXXX) = P(U) \times P(U) \times P(X) \times P(X) \times P(X) \times P(X) = \left(\frac{1}{4}\right) \times \left(\frac{1}{4}\right) \times \left(\frac{3}{4}\right) \times \left(\frac{3}{4}\right) \times \left(\frac{3}{4}\right) \times \left(\frac{3}{4}\right) \] Так как у нас есть 2 успеха и 4 неудачи, подставляем значения: \[ P(UUXXXX) = \left(\frac{1}{4}\right)^2 \times \left(\frac{3}{4}\right)^4 = \frac{1}{16} \times \frac{81}{256} \] Теперь умножим результаты: \[ P(UUXXXX) = \frac{81}{4096} \] Таким образом, вероятность элементарного события, в котором сначала происходят два успеха, а затем четыре неудачи, равна \( \frac{81}{4096} \).