1. Первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, вторую треть - со скоростью 16 км/ч, а последнюю треть - со скоростью 24 км/ч. Найдите среднюю скорость…

Для решения обеих задач воспользуемся формулой для средней скорости:

\[ V_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}, \]

где \(V_{ср}\) - средняя скорость, \(S_{общ}\) - общее расстояние, \(t_{общ}\) - общее время.

1. Первая задача:

Полное расстояние обозначим как \(S\). Тогда каждая треть пути составит \(\frac{S}{3}\).

• Для первой трети:

  • Скорость \(V_1 = 12\) км/ч.
  • Время \(t_1 = \frac{\frac{S}{3}}{12} = \frac{S}{36}\) ч.

• Для второй трети:

  • Скорость \(V_2 = 16\) км/ч.
  • Время \(t_2 = \frac{\frac{S}{3}}{16} = \frac{S}{48}\) ч.

• Для третьей трети:

  • Скорость \(V_3 = 24\) км/ч.
  • Время \(t_3 = \frac{\frac{S}{3}}{24} = \frac{S}{72}\) ч.

Теперь найдем общее время \(t_{общ}\):

\[ t_{общ} = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{S}{36} + \frac{S}{48} + \frac{S}{72}. \]

Для сложения этих дробей найдем общий знаменатель. Общий знаменатель для 36, 48 и 72 - это 144. Преобразуем дроби:

\[ t_{общ} = \frac{4S}{144} + \frac{3S}{144} + \frac{2S}{144} = \frac{9S}{144} = \frac{S}{16}. \]

Теперь подставим в формулу для средней скорости:

\[ V_{ср} = \frac{S}{t_{общ}} = \frac{S}{\frac{S}{16}} = 16 \text{ км/ч}. \]

Таким образом, средняя скорость велосипедиста на протяжении всего пути составляет 16 км/ч.

2. Вторая задача:

Обозначим общее расстояние как \(S\). Пусть первая половина пути \(\frac{S}{2}\).

• Для первой половины:

  • Скорость \(V_1 = 40\) км/ч.
  • Время \(t_1 = \frac{\frac{S}{2}}{40} = \frac{S}{80}\) ч.

• Для второй половины:

  • Скорость \(V_2 = 60\) км/ч.
  • Время \(t_2 = \frac{\frac{S}{2}}{60} = \frac{S}{120}\) ч.

Теперь найдем общее время \(t_{общ}\):

\[ t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{80} + \frac{S}{120}. \]

Для сложения этих дробей найдем общий знаменатель. Общий знаменатель для 80 и 120 - это 240. Преобразуем дроби:

\[ t_{общ} = \frac{3S}{240} + \frac{2S}{240} = \frac{5S}{240} = \frac{S}{48}. \]

Теперь подставим в формулу для средней скорости:

\[ V_{ср} = \frac{S}{t_{общ}} = \frac{S}{\frac{S}{48}} = 48 \text{ км/ч}. \]

Таким образом, средняя скорость автомобиля на всем пути составляет 48 км/ч.