Для решения обеих задач воспользуемся формулой для средней скорости:
[
V_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}},
]
где (V_{ср}) - средняя скорость, (S_{общ}) - общее расстояние, (t_{общ}) - общее время.
- Первая задача:
Полное расстояние обозначим как (S). Тогда каждая треть пути составит (\frac{S}{3}).
Для первой трети:
- Скорость (V_1 = 12) км/ч.
- Время (t_1 = \frac{\frac{S}{3}}{12} = \frac{S}{36}) ч.
Для второй трети:
- Скорость (V_2 = 16) км/ч.
- Время (t_2 = \frac{\frac{S}{3}}{16} = \frac{S}{48}) ч.
Для третьей трети:
- Скорость (V_3 = 24) км/ч.
- Время (t_3 = \frac{\frac{S}{3}}{24} = \frac{S}{72}) ч.
Теперь найдем общее время (t_{общ}):
[
t_{общ} = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{S}{36} + \frac{S}{48} + \frac{S}{72}.
]
Для сложения этих дробей найдем общий знаменатель. Общий знаменатель для 36, 48 и 72 - это 144. Преобразуем дроби:
[
t_{общ} = \frac{4S}{144} + \frac{3S}{144} + \frac{2S}{144} = \frac{9S}{144} = \frac{S}{16}.
]
Теперь подставим в формулу для средней скорости:
[
V_{ср} = \frac{S}{t_{общ}} = \frac{S}{\frac{S}{16}} = 16 \text{ км/ч}.
]
Таким образом, средняя скорость велосипедиста на протяжении всего пути составляет 16 км/ч.
- Вторая задача:
Обозначим общее расстояние как (S). Пусть первая половина пути (\frac{S}{2}).
Для первой половины:
- Скорость (V_1 = 40) км/ч.
- Время (t_1 = \frac{\frac{S}{2}}{40} = \frac{S}{80}) ч.
Для второй половины:
- Скорость (V_2 = 60) км/ч.
- Время (t_2 = \frac{\frac{S}{2}}{60} = \frac{S}{120}) ч.
Теперь найдем общее время (t_{общ}):
[
t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{80} + \frac{S}{120}.
]
Для сложения этих дробей найдем общий знаменатель. Общий знаменатель для 80 и 120 - это 240. Преобразуем дроби:
[
t_{общ} = \frac{3S}{240} + \frac{2S}{240} = \frac{5S}{240} = \frac{S}{48}.
]
Теперь подставим в формулу для средней скорости:
[
V_{ср} = \frac{S}{t_{общ}} = \frac{S}{\frac{S}{48}} = 48 \text{ км/ч}.
]
Таким образом, средняя скорость автомобиля на всем пути составляет 48 км/ч.
