Задача 1 Две сходственные стороны подобных треугольников равны 2 см и 5 см. Площадь первого треугольника равна 8 см?. Чему равна площадь второго треугольника? Задача 2 Периметры…

Задача 1:

В подобных треугольниках отношение площадей равно квадрату отношения соответствующих сторон. Пусть \( S_1 \) и \( S_2 \) — площади первого и второго треугольника соответственно. Из условия известны стороны первого треугольника \( a_1 = 2 \) см и второго треугольника \( a_2 = 5 \) см:

\[ \frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2 \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25} \]

Площадь первого треугольника \( S_1 = 8 \) см². Обозначим площадь второго треугольника \( S_2 \) для нахождения:

\[ \frac{8}{S_2} = \frac{4}{25} \]

Теперь, перемножим:

\[ 8 \cdot 25 = 4 \cdot S_2 \]

\[ 200 = 4 \cdot S_2 \]

Разделим обе стороны на 4:

\[ S_2 = \frac{200}{4} = 50 \, \text{см}^2 \]

Площадь второго треугольника равна 50 см².

Задача 2:

Периметры подобных треугольников относятся как 2:3. Это означает, что отношение их площадей будет равно квадрату отношения периметров. Пусть площади меньшего и большего треугольника обозначим как \( S_1 \) и \( S_2 \), соответственно. Так как периметры относятся как 2:3, то:

\[ \frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \]

Сумма площадей треугольников равна 260 см²:

\[ S_1 + S_2 = 260 \]

Теперь выразим \( S_2 \) через \( S_1 \):

\[ S_2 = 260 - S_1 \]

Подставим это в отношение площадей:

\[ \frac{S_1}{260 - S_1} = \frac{4}{9} \]

Перемножим, получим:

\[ 9S_1 = 4(260 - S_1) \]

Раскроем скобки:

\[ 9S_1 = 1040 - 4S_1 \]

Соберем \( S_1 \) с одной стороны:

\[ 9S_1 + 4S_1 = 1040 \]

\[ 13S_1 = 1040 \]

Разделим обе стороны на 13:

\[ S_1 = \frac{1040}{13} = 80 \, \text{см}^2 \]

Теперь, найдём площадь большего треугольника:

\[ S_2 = 260 - S_1 = 260 - 80 = 180 \, \text{см}^2 \]

Таким образом, площадь меньшего треугольника равна 80 см².