Чтобы найти меньшую высоту треугольника, нужно использовать формулу для высоты, основанной на площади треугольника. Для начала найдем площадь треугольника с помощью формулы Герона.
Сначала рассчитаем полупериметр (s) треугольника:
[
s = \frac{a + b + c}{2}
]
где (a), (b), и (c) — стороны треугольника. В нашем случае:
- (a = 24) см,
- (b = 25) см,
- (c = 7) см.
Подставим значения в формулу:
[
s = \frac{24 + 25 + 7}{2} = \frac{56}{2} = 28 \text{ см}.
]
Теперь можем найти площадь (S) треугольника по формуле Герона:
[
S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.
]
Подставляя значения:
[
S = \sqrt{28(28-24)(28-25)(28-7)} = \sqrt{28 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 21}.
]
Теперь посчитаем каждую часть по порядку:
[
28 \cdot 4 = 112,
]
[
112 \cdot 3 = 336,
]
[
336 \cdot 21 = 7056.
]
Итак, площадь:
[
S = \sqrt{7056} = 84 \text{ см}^2.
]
Теперь, чтобы найти высоту (h) треугольника, воспользуемся следующей формулой:
[
h = \frac{2S}{a},
]
где (a) — это основание треугольника. Для нахождения меньшей высоты (которую следует искать на стороне 24 см или 25 см, так как они больше 7 см), давайте найдем высоту, проведенную на основании 7 см.
Тогда, подставляя значения:
[
h_{7} = \frac{2 \cdot 84}{7} = \frac{168}{7} = 24 \text{ см}.
]
Теперь найдем высоты для оснований 24 см и 25 см. Для 24 см:
[
h_{24} = \frac{2 \cdot 84}{24} = \frac{168}{24} = 7 \text{ см}.
]
Для 25 см:
[
h_{25} = \frac{2 \cdot 84}{25} = \frac{168}{25} \approx 6.72 \text{ см}.
]
Таким образом, меньшая высота треугольника, проведенная на основании 25 см, равна приблизительно 6.72 см.
