Шар вписан в цилиндр. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 42. Найти площадь поверхности шара.

Для решения задачи используем известные формулы. Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле: \[ S_{\text{бок}} = 2 \pi r h \] где \( r \) — радиус основания цилиндра, \( h \) — высота цилиндра. Шар, вписанный в цилиндр, касается верхней и нижней грани цилиндра, и его радиус равен радиусу основания цилиндра (обозначим его \( r \)). Высота цилиндра, тогда, будет равна диаметру шара, то есть \( h = 2r \). Подставим высоту \( h \) в формулу площади боковой поверхности: \[ S_{\text{бок}} = 2 \pi r (2r) = 4 \pi r^2 \] По условию задачи известно, что площадь боковой поверхности цилиндра равна 42: \[ 4 \pi r^2 = 42 \] Теперь можно решить это уравнение для радиуса \( r \): \[ \pi r^2 = \frac{42}{4} = 10.5 \] \[ r^2 = \frac{10.5}{\pi} \] Теперь найдем площадь поверхности шара. Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: \[ S_{\text{шара}} = 4 \pi r^2 \] Подставим найденное значение \( r^2 \): \[ S_{\text{шара}} = 4 \pi \left( \frac{10.5}{\pi} \right) = 4 \cdot 10.5 = 42 \] Таким образом, площадь поверхности шара равна: \[ \boxed{42} \]