Чтобы решить данную задачу, мы можем воспользоваться распределением Бернулли или биномиальным распределением. В данном случае у нас есть следующие данные:
- Вероятность попадания в цель ( p = 0.7 ).
- Вероятность промаха ( q = 1 - p = 0.3 ).
- Количество выстрелов ( n = 7 ).
- Нам нужно найти вероятность того, что цель будет поражена ровно ( k = 2 ) раза.
Формула для вычисления вероятности в биномиальном распределении выглядит следующим образом:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n - k}
]
где ( C(n, k) ) — это биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}
]
Теперь подставим наши значения в формулу:
- Вычислим биномиальный коэффициент:
[
C(7, 2) = \frac{7!}{2!(7 - 2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21
]
- Подставим все значения в формулу:
[
P(X = 2) = C(7, 2) \cdot (0.7)^2 \cdot (0.3)^{7 - 2}
]
[
P(X = 2) = 21 \cdot (0.7)^2 \cdot (0.3)^5
]
Теперь нужно вычислить ( (0.7)^2 ) и ( (0.3)^5 ):
[
(0.7)^2 = 0.49
]
[
(0.3)^5 = 0.00243
]
Теперь подставим эти значения:
[
P(X = 2) = 21 \cdot 0.49 \cdot 0.00243
]
Выполнив вычисления:
[
21 \cdot 0.49 = 10.29
]
[
10.29 \cdot 0.00243 \approx 0.02496
]
Таким образом, вероятность того, что цель будет поражена ровно 2 раза после 7 выстрелов, составляет примерно 0.02496 или 2.496%.