Вероятность пробоя цели стрелком при одном выстреле равна 0,7. Какова вероятность того, что после того, как будет сделано 7 выстрелов, цель будет поражена ровно 2 раза?

Чтобы решить данную задачу, мы можем воспользоваться распределением Бернулли или биномиальным распределением. В данном случае у нас есть следующие данные: - Вероятность попадания в цель \( p = 0.7 \). - Вероятность промаха \( q = 1 - p = 0.3 \). - Количество выстрелов \( n = 7 \). - Нам нужно найти вероятность того, что цель будет поражена ровно \( k = 2 \) раза. Формула для вычисления вероятности в биномиальном распределении выглядит следующим образом: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n - k} \] где \( C(n, k) \) — это биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} \] Теперь подставим наши значения в формулу: 1. Вычислим биномиальный коэффициент: \[ C(7, 2) = \frac{7!}{2!(7 - 2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21 \] 2. Подставим все значения в формулу: \[ P(X = 2) = C(7, 2) \cdot (0.7)^2 \cdot (0.3)^{7 - 2} \] \[ P(X = 2) = 21 \cdot (0.7)^2 \cdot (0.3)^5 \] Теперь нужно вычислить \( (0.7)^2 \) и \( (0.3)^5 \): \[ (0.7)^2 = 0.49 \] \[ (0.3)^5 = 0.00243 \] Теперь подставим эти значения: \[ P(X = 2) = 21 \cdot 0.49 \cdot 0.00243 \] Выполнив вычисления: \[ 21 \cdot 0.49 = 10.29 \] \[ 10.29 \cdot 0.00243 \approx 0.02496 \] Таким образом, вероятность того, что цель будет поражена ровно 2 раза после 7 выстрелов, составляет примерно 0.02496 или 2.496%.