Для нахождения площади ромба, когда сторона равна одной из его диагоналей, можно использовать формулу для площади:
[
S = a \cdot h
]
где (S) — площадь ромба, (a) — длина стороны, (h) — высота.
В данном случае нам известно, что высота (h = 12\sqrt{3}) см. Пусть длина стороны ромба равна (a), тогда по условию задачи (a = d_1), где (d_1) — это одна из диагоналей. Известно, что в ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам.
Мы также знаем, что площадь ромба можно выразить через диагонали следующим образом:
[
S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}
]
где (d_2) — это другая диагональ. На основании свойства ромба, можно выразить вторую диагональ через первую диагональ и сторону:
[
d_2 = \sqrt{4a^2 - d_1^2}
]
Так как (d_1 = a), это можно переписать как:
[
d_2 = \sqrt{4a^2 - a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}
]
Теперь можем найти площадь и подставить значение высоты в формулу площади с использованием стороны:
[
S = a \cdot h = a \cdot 12\sqrt{3}
]
Теперь подставим значение (d_2) в выражение площади через диагонали:
[
S = \frac{a \cdot a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}
]
Приравняем два выражения для площади:
[
a \cdot 12\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}
]
Упрощаем уравнение, деля обе стороны на (\sqrt{3}):
[
12a = \frac{a^2}{2}
]
Умножим обе стороны на 2:
[
24a = a^2
]
Переносим все в одну сторону:
[
a^2 - 24a = 0
]
Факторизуем:
[
a(a - 24) = 0
]
Таким образом, (a = 0) или (a = 24). Поскольку длина стороны не может быть нулевой, принимаем:
[
a = 24 , \text{см}
]
Теперь можем найти площадь:
[
S = a \cdot h = 24 \cdot 12\sqrt{3} = 288\sqrt{3} , \text{см}^2
]
Итак, площадь ромба равна (288\sqrt{3}) см².