Чтобы решить уравнение ( 5x² - 2x - 3 = 0 ), мы воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:
[
x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b² - 4ac}}}}{2a}
]
В нашем уравнении коэффициенты следующие:
- ( a = 5 )
- ( b = -2 )
- ( c = -3 )
Сначала найдём дискриминант ( D ):
[
D = b² - 4ac = (-2)² - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64
]
Так как дискриминант положителен (( D > 0 )), у уравнения есть два различных корня. Теперь подставим значения в формулу для нахождения корней:
[
x = \frac{{-(-2) \pm \sqrt{64}}}{2 \cdot 5} = \frac{{2 \pm 8}}{10}
]
Теперь вычислим оба корня:
- Для первого корня:
[
x_1 = \frac{{2 + 8}}{10} = \frac{10}{10} = 1
]
- Для второго корня:
[
x_2 = \frac{{2 - 8}}{10} = \frac{-6}{10} = -0.6
]
Таким образом, корни уравнения: ( x_1 = 1 ) и ( x_2 = -0.6 ).
Поскольку в условии задачи нужно записать меньший из корней, то ответ:
[
\boxed{-0.6}
]