Периметр квадрата, описанного около окружности, равен 24 см. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в ту же окружность.

Для решения задачи необходимо сначала найти радиус окружности, которая описана вокруг квадрата.

Периметр квадрата равен 24 см. Поскольку периметр квадрата равен \(4a\), где \(a\) — длина стороны квадрата, можем найти сторону квадрата:

\[ 4a = 24 \implies a = \frac{24}{4} = 6 \text{ см}. \]

Теперь мы можем найти радиус окружности. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата. Диагональ квадрата рассчитывается по формуле:

\[ d = a\sqrt{2}. \]

Подставим значение стороны квадрата:

\[ d = 6\sqrt{2} \text{ см}. \]

Радиус \(R\) окружности описанной около квадрата равен:

\[ R = \frac{d}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \text{ см}. \]

Теперь, чтобы найти сторону правильного треугольника, вписанного в ту же окружность, используем формулу:

\[ a_t = R \sqrt{3}, \]

где \(a_t\) — сторона правильного треугольника. Подставим значение радиуса:

\[ a_t = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{6} \text{ см}. \]

Таким образом, сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, равна \(3\sqrt{6}\) см.