9) Тело,брошенное вертикально вверх,вернулось на землю через 3 с.Какова начальная скорость тела? На какую высоту оно поднялось? 24) Тело брошено с некоторой высоту вертикально вверх с начальной скоростью 30 м/с. Найти координату и скорость тела через 10 с,а также пройденный телом путь. 78) Камень, привязанный к веревке, равномерно вращается в вертикальной плоскости. Разность между максимальным и минимальным натяжением веревки 19,6 Н. Найти массу камня. 104) Снаряд,летевший со скоростью 400 м/с,в верхней точке траектории разорвался на два осколка. Меньший осколок, масса которого составляет 40% от массы снаряда, полетел в противоположном направлении со скоротью 150 м/с. Определить скорость большего осколка. 129) Сила F=3i+j+6k приложена к точке,радиус-вектор которой r=2i+3j+4k Найти: а)момент силы М относительно начала координат, б) модуль вектора М; в) момент силы относительно оси Z.

Давайте решим данные задачи.

Задача 9

Условия: Тело, брошенное вертикально вверх, вернулось на землю через 3 с. Найдем начальную скорость и максимальную высоту.

Решение:

1. Время подъема (t) = 3 с / 2 = 1,5 с.

2. Используя уравнение движения: \( v = v_0 - g \cdot t \). В верхней точке скорость (v) = 0. \[ 0 = v_0 - 9,8 \cdot 1,5 \] \[ v_0 = 9,8 \cdot 1,5 = 14,7 \text{ м/с} \]

3. Для нахождения максимальной высоты (h) используем формулу: \[ h = v_0 \cdot t - \frac{g \cdot t^2}{2} \] \[ h = 14,7 \cdot 1,5 - \frac{9,8 \cdot (1,5)^2}{2} \] \[ h = 22,05 - 11,025 = 11,025 \text{ м} \]

Задача 24

Условия: Тело брошено с высоты с начальной скоростью 30 м/с. Найти координату и скорость тела через 10 с, а также пройденный путь.

Решение:

1. Используем уравнение движения для координаты (h): \[ h(t) = h_0 + v_0 t - \frac{g t^2}{2} \] Рассмотрим, что начальная высота \( h_0 = 0 \): \[ h(10) = 0 + 30 \cdot 10 - \frac{9,8 \cdot (10)^2}{2} \] \[ h(10) = 300 - 490 = -190 \text{ м} \] (тело находится ниже начальной высоты)

2. Для скорости: \[ v(t) = v_0 - g t \] \[ v(10) = 30 - 9,8 \cdot 10 = 30 - 98 = -68 \text{ м/с} \]

3. Пройденный путь можно найти из начальной высоты и конечной: Пройденный путь = начальная высота + удалённая (если тело упало 190м вниз): \\( P = 0 + 190 = 190 м \)

Задача 78

Условия: Камень вращается на верёвке. Разность между максимальным и минимальным натяжением веревки 19,6 Н. Найти массу камня.

Решение:

1. Обозначим \( T_{\max} \) - максимальное натяжение, \( T_{\min} \) - минимальное натяжение.

2. \( T_{\max} - T_{\min} = 19,6 \) Н.

3. Силы в минимальной точке \( T_{\min} = mg + F_c \), в максимальной \( T_{\max} = mg - F_c \).

4. Из этого следует: \[ (mg - F_c) - (mg + F_c) = 19,6 \] \[ -2F_c = 19,6 \] \[ F_c = -9,8 \] (положительное значение, так как оно относится к направлению)

5. Теперь используем формулу для центростремительного ускорения \( F_c = \frac{mv^2}{r} \): Подставив \( F_c = 9,8 \): \[ 9,8 = \frac{m(19,6)^2}{r} \]

6. Найдем массу \(m\): \[ m = \frac{9,8r}{(19,6)^2} \]

7. Для упрощения возьмём r = 1 м (это условное значение, зависит от задачи), тогда \[ m = \frac{9,8 \cdot 1}{(19,6)^2} \approx 0.025 \text{ кг} \]

Задача 104

Условия: Снаряд, летевший со скоростью 400 м/с, разорвался на два осколка. Масса меньшего осколка 40% от массы снаряда, а скорость 150 м/с в противоположном направлении. Определить скорость большего осколка.

Решение:

1. Пусть масса снаряда - \( M \). Тогда масса меньшего осколка \( m_1 = 0,4M \), а большего \( m_2 = 0,6M \).

2. По закону сохранения импульса: \[ M \cdot 400 = 0,4M \cdot (-150) + 0,6M \cdot v_2 \]

3. Сократим на \( M \): \[ 400 = -60 + 0,6v_2 \] \[ 460 = 0,6v_2 \] \[ v_2 = \frac{460}{0,6} \approx 766,67 \text{ м/с} \]

Задача 129

Условия: Дана сила \( \vec{F} = 3\hat{i} + 1\hat{j} + 6\hat{k} \) и радиус-вектор \( \vec{r} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k} \).

Решение:

1. Момент силы \( \vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} \): \[ \vec{M} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 6 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 \cdot 6 - 4 \cdot 1) - \hat{j}(2 \cdot 6 - 4 \cdot 3) + \hat{k}(2 \cdot 1 - 3 \cdot 3) \] \[ \vec{M} = \hat{i}(18 - 4) - \hat{j}(12 - 12) + \hat{k}(2 - 9) \] \[ \vec{M} = 14\hat{i} + 0\hat{j} - 7\hat{k} \] \[ \vec{M} = 14\hat{i} - 7\hat{k} \]

2. Модуль вектора \( \vec{M} \): \[ |\vec{M}| = \sqrt{14^2 + 0^2 + (-7)^2} = \sqrt{196 + 49} = \sqrt{245} \approx 15,65 \]

3. Момент силы относительно оси Z, равно: \[ M_z = M_x \cdot 0 - M_y \cdot 0 = 0 \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужны уточнения, дайте знать!